Relaciones definibles

Question

Yo estudio el modelo de la teoría y la tengo preguntas acerca de las relaciones que son definibles en una estructura o no. He encontrado tres ejemplos de ejercicios y quiero hacer:

Es la relación $<$ $\Bbb{Q}$ definible en la estructura de la $(\Bbb{Q},+,\cdot,0,1)$ que no existe una fórmula $\phi=\phi(x_0,x_1)$ sucht que para todos los $p,q$ en $\Bbb{Q}$, $p<q$ si y sólo si $(\Bbb{Q},+,\cdot,0,1)$ se dio cuenta de $\phi[p,q]$ ?

Es la relación $<$ $\Bbb{Q}$ definible en la estructura de la $(\Bbb{Q},+,0,1)$ ?

Es la relación $+$ $\Bbb{Q}$ definible en la estructura de la $(\Bbb{Q},<,0,1)$ ?

Esto lo he hecho ya para los enteros con la función sucesor, pero no sé cómo hacer esto en tres casos. Creo que la primera relación es definible, pero los otros dos no. Alguien me puede ayudar? Gracias :)

Answer 1

Para la primera, el uso de Lagrange del Teorema de los Cuatro Cuadrados, como otros han dicho.

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Para el segundo, creo que se puede mostrar que la estructura de $\langle \mathbb{Q} \times \mathbb{Z} , (0,0) , (1,0) , \hat{+} \rangle$ donde $\hat{+}$ está definido por $$(m,i) \mathop{\hat{+}} (n,j) = (m+n,i+j)$$ is an elementary extension of $\langle \mathbb{Q} , 0 , 1 , + \rangle$ (with the obvious embedding). The function $f : \mathbb{Q} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \times \mathbb{Z}$ defined by $$f ( m,i) = (m,-i)$$ is an automorphism of $\langle \mathbb{Q} \times \mathbb{Z} , (0,0) , (1,0) , \hat{+} \rangle$, and should be enough to witness that $<$ is not definable. (This makes use of the fact that if $\varphi(x,y)$ defines a linear ordering in $\langle \mathbb{Q} , 0 , 1 , + \rangle$, then it defines a linear ordering in all elementary extesnions of $\langle \mathbb{Q} , 0 , 1 , + \rangle$.)

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Para el tercero, tenga en cuenta que cualquier estrictamente creciente bijection $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ satisfacción $f(0) = 0$ $f(1) = 1$ es un automorphism de $\langle \mathbb{Q} , 0 , 1 , < \rangle$. Elija cualquier de estos que no es lineal para dar testimonio de que $+$ no es definible en la estructura.

Answer 2

1) usando el Teorema del cuadrado cuatro de Lagrange $$a<b\equiv \neg(a=b)\land \exists x,y,u,w\colon a+x\cdot x+y\cdot y+z\cdot z+w\cdot w=b$ $

2) ¿Cómo puede usted distinguir $(\mathbb Q,+)$ $(\mathbb Q[i],+)$?

3) tenga en cuenta que $$x\mapsto\begin{cases}2x&x\le \frac13\\\frac12(x+1) &x\ge\frac13\end{cases}$ $ es un automorfismo del ordenado conjunto de $(\mathbb Q,<)$.