¿Qué exigimos de $g(n)$, si para cada positivo estrictamente creciente ilimitada $f(n)$, esta suma converge?
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(g(n))}{f(n)} .$$
¿Convergen para $g(n)=n$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $S(n) = \sum_{k=0}^n g(k)$. Como otros han comentado, si $S(n)$ es acotado, su suma converge. Por otro lado, si $S(n)$ es ilimitado, voy a construir $f(n)$ tales que su suma diverge. WLOG supongamos $S(n)$ es ilimitado arriba, y tomar una función creciente $N(m)$ en números enteros no negativos, de modo que $N(0) = 0$$S(N(m)) \ge m + S(N(m-1))$. Deje $f_0(n) = m$ si $N(m-1) < n \le N(m)$. Entonces $$\sum_{n=1}^{N(m)} \frac{\sin(g(n))}{f_0(n)} = \sum_{k=1}^m \ \sum_{n=N(k-1)+1}^{N(k)} \frac{\sin(g(n))}{k} = \sum_{k=1}^m \frac{S(N(k)) - S(N(k-1))}{k} \ge m$$ Esta $f_0$ no está permitido sólo como $f$ porque no es estrictamente creciente. Pero un muy ligero ajuste será estrictamente creciente, mientras que todavía tiene, digamos, $\displaystyle\sum_{n=N(k-1)+1}^{N(k)} \frac{\sin(g(n))}{f(n)} \ge \frac{1}{2}$.
