Formas equivalentes de la Gran Hipótesis de Riemann

Question

Hace tiempo que siento curiosidad por las formas equivalentes de la hipótesis de Riemann para las funciones L automórficas.

En el caso de la hipótesis ordinaria de Riemann, se obtiene un término de error muy bueno para el teorema de los números primos, se tiene la formulación que involucra la función mu de Mobius que es un resultado al efecto de la paridad de los factores primos en un número libre cuadrado que tiene una distribución relacionada con la de los lanzamientos de una moneda sin sesgo, y también se tiene la reformulación en términos de fracciones de Farey.

Sé que para las funciones L unidas a los caracteres de Dirichlet, se obtiene un término de error muy bueno para el teorema del número primo para los primos en las progresiones aritméticas. Es de suponer que si uno se centra en las funciones zeta de Dedekind y las series L de Hecke se obtiene un teorema de la densidad de Chebotarev efectivo muy fuerte o algo así.

Pero en el caso de las funciones L unidas a las formas propias de Hecke para GL(2), o de cosas más abstractas como las funciones L simétricas de n-ésima potencia unidas a formas automórficas o representaciones automórficas, me parece que no está muy claro cuál es el significado de la hipótesis de Riemann para estas funciones L. Creo recordar algo sobre una región libre de ceros a la izquierda del límite de la franja crítica que está relacionada con la conjetura de Sato-Tate, así que tengo la vaga impresión de que se podría obtener una buena cota de la velocidad de convergencia a la distribución de Sato-Tate como equivalente a la hipótesis de Riemann para algunas de estas funciones L.

¿Cuáles son algunas equivalencias interesantes de la hipótesis de Riemann para las funciones L automórficas que conoces? Me interesan especialmente las afirmaciones que tengan interpretaciones cualitativas.

P.D. He difuminado la distinción entre un equivalente de la hipótesis de Riemann para una única función L y los equivalentes a la hipótesis de Riemann para una familia específica de funciones L. Me interesan ambas cosas

P.P.D. Me interesan más las equivalencias que las consecuencias de las hipótesis de Riemann para estas funciones L, en la medida en que las equivalencias "captan la esencia" del enunciado en cuestión en mayor medida que las consecuencias. No obstante, me gustaría recibir referencias a las consecuencias de la hipótesis de Riemann para las funciones L automórficas, de nuevo, especialmente aquellas con interpretaciones cualitativas.

Answer 1

Bien, supongamos que pi es un cuspidal automorphic representación de GL(n)/P. Este tiene la estructura de un producto tensor, indexado por los números primos p, de representaciones pi_p de los grupos de GLn(Q_p). El Satake isomorfismo nos dice que en casi todos los números primos, cada uno de los pi_p está determinado por una clase conjugacy Una(p) en GLn(C). En este lenguaje, la hipótesis de Riemann para la L-función asociada a pi dice que las sumas parciales de tr(A(p)) sobre p < X "como mucho de cancelación como sea posible", y son de tamaño sqrt(X). Pero si n>1, estamos tratando con muy complicado objetos, y los locales de los componentes de estos automorphic representaciones varían en alguna manera incomprensible...

Tienes razón, sin duda, hay casos especiales. Si sabía de GRH para la L-funciones asociadas a Artin representaciones, a continuación, el Cebotarev densidad teorema sería seguir con un óptimo término de error. Asimismo, la GRH para todos los simétrica poderes de un fijo de curva elíptica E implica (y es de hecho equivalente a; ver Mazur del BAMS artículo para una referencia) el Sato-Tate conjetura para el Correo con un óptimo término de error. Pero en general, las reformulaciones como esta, simplemente no existen.

Hay muchas consecuencias interesantes de GRH para varias familias de automorphic L-funciones. Recomiendo Iwaniec y Kowalski del libro (Capítulo 5), el papel de "Bajas ceros de las familias de L-funciones" por Iwaniec-Luo-Sarnak, y Sarnak del artículo en http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf