En la mecánica cuántica moderna por Sakurai, página 46 mientras que derivan conmutador del operador de traductor con el operador posición, usa $$\left| x+dx\right\rangle \simeq \left| x \right\rangle.$$ But for every $\epsilon > 0$ $$\langle x+ \epsilon \left| x \right\rangle = 0.$$ Therefore this limiting process $% $ $\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left| x+ \epsilon \right\rangle = \left| x \right\rangle$no tiene sentido para mí. Yo no podía derivar a relación conmutador sin utilizar estos.
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joshphysics
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He aquí la forma más lógica de proceder, si usted me pregunta. Dado cualquier $a\in\mathbb R$, podemos definir la traducción operador $T_a$ por su acción sobre la posición de vectores de la base $$ T_a|x\rangle = |x + a\rangle $$ Uno puede demostrar las siguientes propiedades:
$T_a$ es unitaria para cada una de las $a\in\mathbb R$.
$T_aT_b = T_{a+b}$ todos los $a,b\in\mathbb R$.
De ello se deduce (por Piedra del teorema de algunos matemáticos detalles), que existe una hermitian operador $K$ para los que $$ T_a = e^{-iaK} $$ El operador $K$ cuya existencia está garantizada en esta forma se llama el generador infinitesimal de las traducciones. A continuación, queremos mostrar que $K$ $X$ tienen ciertas relaciones de conmutación. Para ello, podemos señalar los siguientes hechos (ver aquí) $$ T_aXT_{-a} = e^{-iaK}Xe^{+iaK} = X - ia[K, X] + \mathcal O(a^2) $$ Ahora actuando con ambos lados en una posición autovector $|x\rangle$ da $$ (x-a)|x\rangle = (x-ia[K,X])|x\rangle + \mathcal O(a^2) $$ y la equiparación de los términos de la misma orden en la $a$ da $$ [X,K] = iI $$ como se desee.
La derivación por Sakurai no significa mathematicaly riguroso, por lo que debe esperar algo así como su argumento acerca de que el producto escalar. De hecho, tenemos todo más o menos bien hasta que $$ [x,\mathcal{T}(\epsilon)]|z\rangle=\epsilon|z+\epsilon\rangle $$ donde queremos reemplazar $|z+\epsilon\rangle$ $|z\rangle$ y dicen que está bien en el primer orden en $\epsilon$. Tan pronto como la posición autoestados son no normalizable, no hay ninguna medida de 'pequeñez' para su uso en nuestro razonamiento acerca de los pedidos. Sin embargo, lo que tiene sentido es deducir $[x,\mathcal{T}(\epsilon)]=\epsilon\mathcal{T}(\epsilon)$, lo cual es cierto para cualquier finito $\epsilon$. Aquí la razón por la que todo funciona bien es que $\mathcal{T}$ es un buen limitada(=continuamente) operador que está definida en todo el espacio de Hilbert de los estados, y es fácil de entender, incluso en el generalizado vectores, como la $|x\rangle$. De hecho, si usted trabaja en coordinar la representación, se puede deducir de este colector de trabajo sólo con normalizable wavefunctions, en la que la acción de $x$ está definido (siguen siendo normalizable después de esta acción), dando completamente matemático riguroso sence para su cálculo.
Lo que es diferente cuando se intenta lidiar con Sakurai $K$ (lo que usted está tratando de hacer cada vez que cuando se habla de infinitisemal traducciones) de manera rigurosa, es que es un mal (unbounded, discontinious) del operador. De hecho, en un sentido, $$ K=i\left.\frac{d}{d\epsilon}\mathcal{T}(\epsilon)\right|_{\epsilon=0}. $$ Pero la única manera de dar sentido a esta fórmula es para definir la acción de $K$ en los estados: $$ K|\psi\rangle=i\lim_{\epsilon\to0}\frac{\mathcal{T}(\epsilon)|\psi\rangle-|\psi\rangle}{\epsilon} $$ Pero este límite existe sólo para ciertos buen estados, que nos dicen que están en el dominio de $K$. De hecho, si miramos $K$ en la coordenada rep, es sólo $-i\frac{d}{dx}$, el cual es definido en el (en todas partes densas) el subespacio de funciones diferenciables del espacio $L_2$ de cuadrado integrable funciones. Cuando se trata de $K$ rigurosamente, usted tiene que restringir a sí mismo el dominio de $K$ (por ejemplo, si usted se considera joshphysics respuesta, donde cada fórmula con $K$ se limita al dominio, es casi una rigurosa prueba).
Sin embargo, debido a alguna razón, que es, sin duda relacionado con el hecho de que el dominio $D(K)$ $K$ está en todas partes densas, cualquier estado puede ser aproximado por un estado de $D(K)$ a cualquier precisión deseada, un descuido de tratamiento como el de Sakurai obras.
