Grupo diédrico y sus generadores

Question

Trato de mejorar mi comprensión de la diedro grupo. Una forma de presentación de la diedro grupo $D_n$ orden $2n$ es $$\langle a,b : a^2=b^2=(ab)^n=1 \rangle.$$

Después de un momento de pensamiento parecía bastante obvio para mí que el conjunto de todos los elementos del grupo podría ser escrito como $G= \lbrace (ab)^k, (ab)^ka:k=0,...,n-1 \rbrace$. It was easy to show that G is a group. Unfortunately I could not prove that the set $G$ indeed represents the full group $D_n$.

Mor precisamente tengo problemas para demostrar que todos los elementos en el anterior conjunto $G$ son parejas diferentes y que no existen otros elementos de $D_n$ no figura en G.

E. g. ¿por qué no es posible que $(ab)^k=1$ algunos $k=1,...,n-1$?

Answer 1

Recordemos que cuando decimos que $G = \langle a, b \, | \, a^2 = b^2 = (ab)^n = 1\rangle$, lo que queremos decir es que el $G$ es el cociente de la libre grupo de $\langle a, b\rangle$ por la normal subgrupo $N$ generado por $a^2, b^2, (ab)^n$. Ahora, vamos concretamente a la vista de $D_n$ como el grupo de rotaciones y reflexiones de la regular $n$-gon que preservar los vértices. Voy a asumir que usted está familiarizado con este grupo.

Podemos definir un grupo de homomorphism $\varphi :\langle a,b\rangle \to D_n$ mediante el envío de $a$ $b$ a "adyacentes" reflexiones. Por esto, simplemente me refiero a que $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$ debe ser una rotación de orden $n$. Usando nuestro conocimiento de $D_n$, es fácil confirmar que $a^2, b^2$ $(ab)^n$ están en el núcleo de $\varphi$. Por lo tanto, todos los de $N$ está contenida en el núcleo. De ello se desprende que hay un inducida por el grupo homomorphism $$\overline{\varphi}: \langle a, b \, | \, a^2 = b^2 = (ab)^n = 1\rangle \to D_n$$ by the univeral property of the quotient. Moreover, you have shown that the domain of the map has at most $2n$ elements, and by construction $\overline{\varphi}$ is surjective (since $\varphi$ is). Since $|D_n| = 2n$ as well, $\overline{\varphi}$ debe ser bijective, así que hemos terminado.

Answer 2

Una forma concreta de mostrar que una energía más baja de $ab$ no puede ser la identidad es mediante la construcción de una acción del grupo de simetrías de un regular $n$-gon. A continuación, una energía más baja de $ab$ corresponde a una rotación no trivial, ciertamente no podría ser la identidad del grupo.