Existe una definición alternativa para $\{ z \in \mathbb{C} \colon \vert z \vert \leq 1 \} $.

Question

Hay un método de construcción de un subconjunto de un razonablemente arbitraria anillo, de modo que cuando la construcción se aplica el $\mathbb{C}$ el resultado es $B = \{ z \in \mathbb{C} \colon |z| \leq 1 \} $?

Mi interés es en la construcción de algo parecido a un valor absoluto de un anillo arbitrario. Observe que $\{ zB \colon z\in \mathbb{C} \}$ es, como un conjunto ordenado, isomorfo a $[0, \infty)$. El isomorfismo es $zB \mapsto |z|$.

Supongamos que tenemos un anillo de $R$ $G \subseteq R$ la satisfacción de:

1. Tenemos $0, 1, -1 \in G$.
2. Para todos los $x,y \in G$ tenemos $xy \in G$.
3. Para todos los $r \in R$ existe un $s \in R$$rG = Gs$.

Entonces podemos definir un mapa $$\Vert \Vert \colon R \rightarrow \{ \sum_{i = i}^{n}a_{i}G \colon a_{i} \in R \} $$ para todos los $r \in R$ por la cesión $$r \mapsto rG.$$ La imagen de este mapa es parcialmente ordenado por la inclusión. El elemento más pequeño es $\Vert 0 \Vert = \{ 0 \} $. Para todos los $r,s \in R$ tenemos tanto $\Vert rs \Vert = \Vert r \Vert \Vert s \Vert$$\Vert r +s \Vert \subseteq \Vert r \Vert + \Vert s \Vert$. Este suma de la propiedad es la razón por la que he utilizado una colección de finito de sumas para el rango de la función. La idea es utilizar una función de un tipo de valor absoluto de un anillo arbitrario. Sería bueno tener una definición para$G$, de modo que cuando la construcción se aplica a los números complejos, el resultado arrojó una estructura de isomorfo a las habituales en valor absoluto de los números complejos. Tal vez este tipo de construcción es imposible. Si es así sería bueno saber que también.

Answer 1

No puede ser cualquier construcción que comienza sólo a partir de la estructura de anillo.

Para ver esto, observe que no existe, no continua "salvaje" campo de automorfismos de a $\mathbb C$, y estos no preservar la cerrada de la unidad de disco. Sin embargo, cualquier puramente algebraicas definición de $B$ necesariamente conmuta con isomorphisms.

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Por otro lado, si usted tiene una topología en anillo, usted podría decir algo como "el más pequeño subconjunto cerrado del anillo que contiene todas las raíces de la unidad y es cerrado bajo la media aritmética".

Answer 2

Yo no creo que haya una puramente algebraico forma de caracterizar la unidad de la bola en $\mathbb{C}$ como es señalado por Henning Makholm.

Sin embargo, creo que su enfoque para tratar y definir la noción de "resumen de la unidad la pelota" es interesante (pero creo que sus condiciones no son suficientes, por ejemplo, puede que desee excluir $G = R$). Más estándar es simplemente llamar a un valor absoluto en un ring $R$ cualquier función de $|| : R \to \mathbb{R}$ la satisfacción de las siguientes propiedades :

1. $|x| = 0$ si y sólo si $x = 0$
2. $|xy| = |x| |y|$
3. $|x + y| \le |x| + |y|$

Las condiciones 1 y 3 asegurar la $d(x,y) = |x-y|$ es una distancia en $R$ para que además es continua, y la condición 2 asegura la multiplicación y la inversión (cuando se define) es continua. Así, en pocas palabras, se pone una agradable topología en un anillo. Dos valores absolutos en $R$ se dice que son equivalentes si se define la misma topología. Bien conocido ejemplo de anillos con absoluta incluir el valor de $\mathbb{C}$ (o cualquier sub-anillo como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Q}$) con la costumbre de valor absoluto. Observe que $x \mapsto \sqrt{|x|}$ también es un valor absoluto, pero esto es equivalente a $x \mapsto |x|$.

A partir de las propiedades 1 y 2, vemos que la existencia de un valor absoluto implica el anillo es una parte integral de dominio, y el valor absoluto puede ser naturalmente extendido su campo de fracción. Así que es imposible esperar que un valor absoluto en un anillo arbitrario (para incluir algunos anillos, usted puede relajarse condición 2 a $|xy| \le |x| |y|$, y el producto sería todavía continua) y se podría asumir que el $R$ es un campo.

También un campo determinado, que puede tener muchos no equivalentes valores absolutos (es decir, produciendo diferentes topologías). Es el caso de $\mathbb{Q}$. Revisión de un primer $p$ cualquier $x \in \mathbb{Q}^*$, denotan $v_p(x)$ el exponente de $p$ en la descomposición de la $x$ como producto de (posiblemente negativo) las potencias de los números primos ($v_p(x)$ se llama la $p$-ádico de valoración de $x$). Definimos la $p$-ádico valor absoluto por $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ (e $|0|_p = 0$) y comprobar que este es un valor absoluto en $\mathbb{Q}$ (en realidad, tenemos una versión más fuerte de la propiedad 3 : $|x+y|_p \le \max(|x|_p, |y|_p)$ llama la ultrametric la desigualdad). La topología inducida en $\mathbb{Q}$ esta $p$-ádico valor absoluto es muy diferente de la que se obtiene con la costumbre de valor absoluto. La unidad de la bola en $\mathbb{Q}$ es el sub-anillo de los números racionales $x$ que puede ser escrito $x = \frac{a}{b}$ $a, b \in \mathbb{Z}$ $b$ coprime a $p$. Tan diferente de bola para cada prime $p$, y también diferente de la habitual de la unidad de balón $\{x \in \mathbb{Q}, |x| \le 1\}$. Pero todos ellos son de la unidad de bolas para un valor absoluto. Así que incluso desde este punto de vista, la unidad de la pelota en un campo no es única.

Ahora usted podría preguntarse si hay otros valores absolutos en $\mathbb{C}$. La respuesta es sí : en cierto sentido, podemos extender la $p$-ádico valor absoluto a $\mathbb{C}$. El proceso es bastante complicado : primero la terminación $\mathbb{Q}$ con respecto al $||_p$, llamar a ese $\mathbb{Q}_p$, a continuación, extender $||_p$ a la clausura algebraica $\overline{\mathbb{Q}}_p$ (este paso no es evidente, pero podemos mostrar que hay una única manera de hacerlo) y denotan $\mathbb{C}_p$ a la finalización de $\overline{\mathbb{Q}}_p$ con respecto al $||_p$. Podemos mostrar a $\mathbb{C}_p$ es algebraicamente isomorfo a $\mathbb{C}$, por lo que puede "transportar" $||_p$ $\mathbb{C}$(pero es mejor para denotar $\mathbb{C}_p$ el seguimiento de la topología que ponemos en ello). La unidad de la bola en $\mathbb{C}_p$ es un sub-anillo de $\mathbb{C}_p$ que no contienen el número de $\frac{1}{p}$, así que una vez más, es muy diferente de la unidad de la bola en $\mathbb{C}$.

Answer 3

Usted podría agregar

• Si $y \in R$ y hay un $n \in \mathbb{N}$ $y^n \in G$ y $y \in G$.

a su lista de requisitos. En $\mathbb{C}$ $G$ por lo menos sería un subconjunto denso del círculo de la unidad (la unidad de círculo más $0$, en realidad). No veo cómo puede hacer $G$ ser la unidad de disco en $\mathbb{C}$ con una definición que funciona en anillos arbitrarios - parece que necesita a algún tipo de topología para eso.