Límite de una secuencia específica que involucra números de Fibonacci.

Question

Sea,$\left\{F_n\right\}_{n=1}^\infty$ la secuencia de Fibonacci, es decir,$F_1=1, F_2=1~\&~ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n~\forall ~n \in \mathbb{Z}_+$

Dejar, $P_1=0, P_2=1$. Divida el segmento de línea$\overline{P_n P_{n+1}}$ en la proporción$F_n:F_{n+1}$ para obtener$P_{n+2}$.

Asi que, $P_{n+2}=\dfrac{F_n P_{n+1}+F_{n+1}P_n}{F_n+F_{n+1}}=\dfrac{F_n}{F_{n+2}}P_{n+1}+\dfrac{F_{n+1}}{F_{n+2}}P_n$

¿Cuál es el límite de la secuencia$\left\{P_n \right\}_{n=1}^\infty$?

$\textbf{Few things:}$ Si definimos,

\begin{eqnarray*} I_n &=& \left[P_n,P_{n+1}\right] \mathrm{,~if~} n \mathrm{~is ~odd~}\\ &=& [P_{n+1},P_n] \mathrm{,~if~} n \mathrm{~is ~even~} \end {eqnarray *} entonces vemos$I_n \supseteq I_{n+1}~\forall~n \in \mathbb{Z}_+$ y$ \lim \limits_{n \to \infty} |I_n|=0$

Por lo tanto, por el teorema del intervalo anidado de Cantor,$\bigcap \limits_{n=1}^\infty I_n$ es singleton. Por lo tanto,$\lim \limits_{n \to \infty} P_n$ existe.

Intenté un poco, pero no pude encontrar el límite.

Answer 1

El primer par de valores de $P_n$ $n \ge 2$ parece ser la alternancia de las sumas de los recíprocos de los números de Fibonacci, a partir de la segunda serie de números (el segundo 1 en la secuencia, de manera denominadores ir 1,2,3,5,8,13, etc.) $$P_2=\frac{1}{1},\ P_3=\frac{1}{1} - \frac12, \ P_4=\frac11-\frac12+\frac13, \\ P_5=\frac11-\frac12+\frac13-\frac15,\ P_6=\frac11-\frac12+\frac13-\frac15+\frac18$$ Por lo que el valor de limitación de $P_n$ sería el valor de esta alterna de la serie. Será necesario comprobar que la definición de la $P_n$ esta manera, los convierte en satisfacer la periodicidad en la publicación de que se trate. Yo podría tratar de trabajar en esa parte. Pero se parece mucho al de una coincidencia que "tiene que" ser verdad!

De todos modos me hizo utilice el método anterior para ir a algunas de las grandes $n$ valores y se metió en intervalos cerrados en el valor numérico hallado por Patrick Stevens en su comentario.

Ahora bien, si los signos se quitan todos los términos son positivos y que la constante ha sido discutido, por ejemplo, aquí y en Wolfram sobre el mismo tema, se dice que el valor de la suma para incluso indexado números de Fibonacci es un conocido cerrado de forma constante. En la Wiki de la suma de todos los positivos recíprocos se le da un nombre, pero no se conoce la forma cerrada para que no parece existir. Hay una gran cantidad de material acerca de él, aunque, como es irracional como recuerdo. Con la información acerca de incluso indexado de Fibonacci recíprocos al menos debería ser posible expresar la alternancia de la suma con la constante que es la suma de los positivos recíprocos, lo que significa que no hay esperanza para una forma cerrada para la alternancia de suma.