$g_n$ Converge a$0$ en$L1$ convierte$fg_n$

Question

Sea $f:X\rightarrow \mathbb{C}$una función integrable y$g_n:X\rightarrow \mathbb{C}$ una secuencia de funciones integrables de modo que$\|g_n\|_1\rightarrow 0$ y$|g_n(x)|\leq 1$ para cada$n, x$. Muestra esa $\|fg_n\|_1\rightarrow 0$.

Creo que la parte$|g_n(x)|\leq 1$ es solo para decir$g_n \geq g_n^2$, pero eso es solo intuición. No hay desigualdad evidente (Holder vino a mi mente ...)

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

$(g_{n_k})_{k=1}^\infty$ Es una subsecuencia de$(g_n)_{n=1}^\infty$ Dado que$\|g_n\|_1\to 0$,$(g_{n_k})$ tiene una subsecuencia adicional$(g_{n_{k_j}})_{j=1}^\infty$ %. Utilice la convergencia dominada para mostrar que$g_{n_{k_j}} \to 0$. Dado que$X$ fue una subsecuencia arbitraria de$\|fg_{n_{k_j}}\|_1 \to 0$, el resultado sigue.

Answer 2

La respuesta anterior es muy elegante. Un enfoque más pedestre es usar:$$ \int |fg_n| \leq \int |f| 1_{|f|>R} + R \int |g_n| $ $ Y tomar los límites en el orden correcto.