Es

Question

Para y $a_1>0$, $a_2>0,\dots,a_n>0$

Quiero probar: \ frac {a_1 a_2 \ dots a_n} {\ sqrt {n (b_1 b_2 ... b_n)}} \ le \ frac {1} {n} {A_1} {\ sqrt {b_1}} \ frac {a_2} {\ sqrt {b_2}} \ cdots \ frac {a_n} {\ sqrt {b_n}} \ right) $$

Answer 1

Para$n=2$ su desigualdad se reduce a

ps

Permite el$$\frac{a_1+a_2}{\sqrt{2(b_1+b_2)}} \leq \frac{1}{2} (\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}+\frac{a_2}{\sqrt{b_2}})$ entonces usted tiene

ps

Esto es falso, por lo que la desigualdad no se cumple.

Answer 2

Esto en realidad no es cierto. Dejar $r_i = {a_i \over \sum_i a_i}$. Entonces lo que intentas probar es equivalente a$${1 \over \sqrt{\sum_{i=1}^nb_i \over n}} \leq \sum_{i=1}^n \bigg(r_i {1 \over \sqrt{b_i}}\bigg)$ $ Here$\sum_i r_i = 1$ y cada$r_i > 0$. Pero note que$\sum_{i=1}^n{b_i \over n}$ es el promedio del$b_i$. Así que usted está tratando de mostrar que$${1 \over \sqrt{b_{average}}} \leq \sum_{i=1}^n \bigg(r_i {1 \over \sqrt{b_i}}\bigg)$ $ Todo lo que tiene que hacer es hacer que el$r_i$ para el mayor$b_i$ casi uno, y los otros casi cero, y la desigualdad no se mantendrá .

Así que para cualquier opción de$b_i$ 's que no son todos iguales, puedes encontrar algunos$a_i$' s para los que esto no funciona.