Calculus Riemann Sums - ¿por qué las particiones tienen que ser del mismo tamaño?

Question

Para configurar las sumas de Riemann para la integración, mis cálculo de texto van a decir que los intervalos de la partición son todos del mismo tamaño. ¿No es más bien el caso de que podían ser de cualquier tamaño, siempre que están delimitadas por una partición más grande que va a cero cuando tomamos el límite? ¿Por qué molestarse ser tan explícito acerca de las igualdades de cada delta x?

Del mismo modo, no importa que el punto dentro de cada partición se determinan de la misma manera cada vez? Como el límite tiende a cero, mientras que el valor de x que elegimos es en algún lugar dentro de ese segmento del dominio...

Answer 1

Usted tiene razón --- no! Algunos textos / ejemplos lo hacen por conveniencia, pero ciertamente no deben decir que$\Delta x_i$ debe ser constante en$i$.

Del mismo modo,$x_i$ no tiene que ser decir, un punto final izquierdo, o extremo derecho o punto medio del subintervalo$i$. Cualquier$x_i^*\in [x_i,x_{i+1}]$ lo hará, y puede variar el método de elegir$x_i^*$ a través de varios$i$.

Como usted notó, siempre y cuando la norma de la partición tiende a$0$, todo está bien.