(Esta pregunta está inspirada en una pregunta sobre restos de coeficientes binomiales pregunté hace poco).
Consideremos los mapas polinómicos $f:\ \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ . Entre ellas se encuentran los polinomios con coeficientes enteros, pero también funciones como $f(x) = \frac{x(x-1)}{2} = \binom{x}{2}$ . Se puede demostrar que cualquier mapa polinómico de este tipo $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ es un $\mathbb{Z}$ -combinación lineal de los polinomios $\binom{x}{d}$ para $d \in \mathbb{N}$ . Me interesan los mapas polinómicos que asumen todos los residuos, módulo de todos los enteros. Más precisamente, un polinomio $f$ es interesante para mí si para cualquier número entero $m \geq 2$ y para cualquier número entero $0 \leq r < m$ existe un número entero $n$ con $f(n) \equiv r \pmod{m}$ . Uno de estos polinomios es $f(x) = x$ .
Como se explica en las otras preguntas mencionadas, los polinomios $f(x) = x^d$ no tienen la mencionada propiedad (para $d > 1$ ). Tenía la (ingenua) esperanza de que los polinomios ${x \choose d}$ servirían, pero tampoco funcionan.
Después de pensarlo un poco más, descubrí que el grado $2$ los polinomios nunca pueden funcionar. Esto se debe a que para $f(x) = ax^2 +bx +c$ la condición $f(n) \equiv r \pmod{p}$ puede reescribirse como $$\left(n+\frac{b}{2a}\right)^2 \equiv \frac{1}{a}\left(r-c+\frac{b^2}{4a}\right) \pmod{p}$$ (asumiendo los numeradores y denumeradores de $a,b,c$ son coprimos a $p$ ). Por lo tanto, $f(n)$ no tiene el residuo $r$ si $p$ es lo suficientemente grande y $\frac{1}{a}\left(r-c+\frac{b^2}{4a}\right)$ no es un residuo cuadrático módulo $p$ .
Esto me hace dudar de los polinomios de mayor grado. Aunque no se me ocurre un argumento general o un ejemplo de polinomio interesante.
Pregunta: ¿Existe un mapa polinómico $f:\ \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ diferente a $f(x) = x$ con la propiedad antes mencionada de que para cualquier número entero $m \geq 2$ y para cualquier número entero $0 \leq r < m$ existe un número entero $n$ con $f(n) \equiv r \pmod{m}$ .
