Borel establece y descompone clopen

Question

Deje $X$ ser localmente compacto (Hausdorff) de espacio, y supongo que puedo escribir $X$ como distinto de la unión de una familia de subconjuntos abiertos $(X_i)_{i\in I}$ (para cada una de las $X_i$ es realmente clopen). Un ejemplo típico que tengo en mente es un incontable discontinuo de la unión de copias de $\mathbb R$ (tan claro que no estoy deseando asumir $X$ $\sigma$- finito, etc.)

Vamos a tener cuidado: vamos a $B$ ser el Borel $\sigma$-álgebra en $X$, así que esta es la intersección de todos los $\sigma$-álgebras que contiene los bloques abiertos. Para cada una de las $i$, tratar a $X_i$ como un localmente compacto espacio en su propio derecho, y deje $B_i$ ser el Borel $\sigma$-álgebra. Deje $E\subseteq X$ ser tal que $E\cap X_i\in B_i$ por cada $i$. Es $E\in B$?

El recíproco también es cierto: si $\Omega=\{ E\subseteq X : \forall i, E\cap X_i\in B_i\}$ $\Omega$ $\sigma$- álgebra, y $\Omega$ contiene todos los subconjuntos abiertos de $E$, lo $B\subseteq\Omega$. Quiero mostrar que la $\Omega=B$, lo que parece mucho más difícil??

Answer 1

Hay un montón de espacios para los cuales (con su anotación)$\Omega$ es estrictamente mayor que$B$, y un espacio es$\omega_1 \times \mathbb{R}$ (con la topología que describió). Para crear un conjunto en$\Omega \backslash B$, simplemente pegue un conjunto de rango de Borel$\alpha$ en la copia$\alpha^{\mathrm{th}}$ de$\mathbb{R}$.