Esto significa encontrar $\lim_{h \to 0} \large \large \frac{\sin \sqrt {(x+h)^2+1}-\sin \sqrt {x^2+1}}{h}$ . La única forma que se me ocurre para hacerlo es sustituir $h$ por alguna función $f(h)$ tal que $[x+f(h)]^2+1=[x+g(h)]^2$ y esto se desharía de una de las raíces cuadradas, pero no fui capaz de encontrar $f(h)$ .
Inspirado por: Diferenciar $\sin \sqrt {x^2+1}$ con respecto a x?
Nos interesa el comportamiento de $\frac{\sin(f(x+h))-\sin(f(x))}{h}$ como $h\to 0$ .
Obsérvese que por la fórmula de la suma (o más bien de la diferencia) al producto para $\sin A-\sin B$ la parte superior es igual a $$\sin\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{2}\right)\cos\left(\frac{f(x+h)+f(x)}{2}\right).$$
La parte de la cos no causará ningún problema. Para la parte del seno, racionaliza el numerador como siempre.
Cuando racionalizamos y dividimos por $h$ La parte sinusoidal se parece a $$\frac{\sin(g(x,h))}{h}$$ donde $$g(x,h)=\frac{2xh+h^2}{2\sqrt{(x+h)^2+1}+2\sqrt{x^2+1}}.$$
El mismo truco que utilizamos para evaluar $\lim_{t\to 0}\frac{\sin(at)}{t}$ ahora funciona, sólo que es un poco más complicado de escribir.
Observación: Lo anterior es muy digno de no hacer.
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