En ausencia de una prueba, voy a darle un poco más de evidencia numérica para la conjetura. El código Python a continuación se calcula la "profundidad" de cada uno de los triples $(a,b,c)$ con una determinada suma, donde la profundidad es el número mínimo de movimientos necesarios para hacer dos de los tres números son iguales. (Un triple en que no hay dos números pueden ser iguales habría profundidad de $-1$.) He verificado la conjetura para todos los $a+b+c\le2000$. También miré los triples que establecer nuevos récords de profundidad... un parcial de tabla a continuación.
$$
\begin{array}{c|c|l}
{\text{depth}} & {\text{min }} a+b+c & {\text{triple(s)}} \\ \hline
5 & 27 & (5,9,13)^* \\
6 & 45 & (4,15,26)^* \\
7 & 81 & (8,27,46)^* \\
8 & 105 & (27,35,43)^*,(8,35,62)^*,(8, 27, 70) \\
9 & 195 & (8,57,130),(8,65,122)^*,(4,33,158),\ldots \\
10 & 329 & (4,130,195) \\
11 & 597 & (175,199,223)^* \\
12 & 885 & (101,295,489)^* \\
13 & 1425 & (206,475,744)^*
\end{array}
$$
Al menos un hecho interesante se destaca: casi todos estos "más difícil" triples son progresiones aritméticas de la forma $(a-k,a,a+k)$ (estos se indican con asteriscos). También, el tamaño de $a+b+c$ crece en una áspera de Fibonacci-como el patrón. Mira estos ejemplos, uno podría pensar que el próximo disco va a ocurrir alrededor de $885+1425=2310$.
Actualización: Después de ejecutar el código para un rato más, el próximo disco llega más tarde de lo esperado, en
$$
\begin{array}{c|c|l}
{\text{depth}} & {\text{min }} a+b+c & {\text{triple(s)}} \\ \hline
14 & 2793 & (571, 931, 1291)^*.
\end{array}
$$
También, la hipótesis se ha verificado para $a+b+c\le 3000$.
def srt(i,j,k):
a = min(i,min(j,k))
c = max(i,max(j,k))
b = (i+j+k)-(a+c)
volver (a,b,c)
def setdepth(i,j,k,val,d,cola):
clave = srt(i,j,k)
si d.has_key(clave) y d[clave]>=0: return
d[clave] = val
cola.append(clave)
def addpreds(a,b,c,val,d,cola):
si a%2==0:
setdepth(a/2,b+a/2,c,val+1,d,cola)
setdepth(a/2,b,c+y a/2,val+1,d,cola)
def profundidades(n):
d = {}
cola = []
for i in xrange(1,n+1):
para j in xrange(1,n+1):
k = n-(i+j)
si i+j<n y i!=j y yo!=la k y la j!=k: d[srt(i,j,k)] = -1
si 2*i<n: setdepth(i,i,n-2*i,0,d,cola)
ix = 0
mientras ix<len(cola):
clave = (a,b,c) = cola[ix]
val = d[clave]
addpreds(a,b,c,val,d,cola)
addpreds(b,c,a,val,d,cola)
addpreds(c,a,b,val,d,cola)
ix += 1
regreso d
