Raíces de $z^{11}-2z^6+z^4+10i$ en el medio plano superior.

Question

Tengo este problema:

Cuántas veces el polinomio $P(z)=z^{11}-2z^6+z^4+10i$ va a cero en el plano medio superior?

Obviamente necesito los ceros de $P(z)$ y pensé que sería útil el teorema de Rouché.

Para ello pensé que era una buena idea conseguir un disco para acotar el problema, y estaba considerando $\vert z\vert =2$ y $g(z)=z^{11}$ . Ahora, con ello conseguí que los ceros estuvieran dentro de ese disco. Mi problema es cómo contar el número de ceros en $B_2(0)\cap R$ con $R=\{z\colon \Im(z)\geq 0\}$ . ¿Alguien puede ayudarme a hacerlo?

Answer 1

Bueno, ya que todavía no hay respuestas déjame intentarlo.

En la línea real no hay raíces y la imagen de la línea real por $P(z)$ se encuentra dentro de la línea $\Im(z)=10$ .

El trabajo estándar, considere un gran semicírculo con diámetro que se encuentra en la línea real (centro en el origen por conveniencia) y que contiene todas las raíces de $P$ en el medio plano superior. Llama al radio $R$ . La imagen del diámetro sabemos dónde está, y la imagen de la parte circular está cerca de la imagen de $R^{11}e^{11\theta i}$ donde $\theta$ viaja $[0,\pi]$ . Así, para $\theta=0$ la imagen se encuentra cerca del punto $R^{11}+10i$ , para $\theta=\pi$ la imagen se encuentra cerca del punto $R^{11}e^{11\pi i}+10i=R^{11}e^{\pi i}+10i$ . Hay $\theta=2pi/11, 4\pi/11, 6\pi/11, 8\pi/11$ y $10\pi/11$ un total de $5$ vientos alrededor del origen.

Así que, $5$ raíces en el semiplano superior.

No hay que pensar, sólo calcular. No hay Rouche'.