Stirling #s of 1st kind. Demuestre lo siguiente: $ \sum_{k=0}^n S_1(n,k)x^k = x(x +1)···(x +n1) $

Question

$\mathbf {Theorem:} $ $$ \sum_{k=0}^n S_1(n,k)x^k = x(x +1)···(x +n1) $$

Quiero demostrar el teorema anterior, y sé que debo utilizar la relación de recurrencia $$ S_1(n,k)=S_1(n-1,k-1)+(n-1)S_1(n-1,k). $$ También sé que $$\sum_{k=0}^n S_1(n,k)=n! ,\quad S_1(n,1)=(n-1)! ,\quad S_1(n,n)=1,$$ y $$S_1(n,0)=S_1(0,n)=0 \quad \text{if} \quad n\neq0. $$ Acabo de empezar a hacer esto: $$ \sum_{k=0}^n S_1(n,k)x^k =S_1(n,0)+S_1(n,1)x+S_1(n,2)x^2+...+S_1(n,n)x^n.$$ Sin embargo, no sé cómo seguir adelante. ¿Alguien puede ayudarme en este punto?

Answer 1

Como Donald Splutterwit mencionó en los comentarios, puedes demostrar esto por inducción de la misma manera que puedes demostrar la fórmula binomial por inducción y la recurrencia de Pascal. En este caso tenemos

\begin{align} x^{\overline{n}} &= \sum_{k = 0}^n S_1(n,k)x^k \\ x^{\overline{n + 1}} &= (x + n)\sum_{k = 0}^n S_1(n,k)x^k \\ &= \sum_{k = 1}^{n + 1} S_1(n,k - 1)x^{k} + \sum_{k = 0}^{n} nS_1(n,k)x^{k} \\ &= \sum_{k = 0}^{n + 1} S_1(n + 1,k)x^k. \end{align}