Demostrando que un espacio métrico es discreto si y solamente si cualquier función de ella a otro espacio métrico es continua

Question

Deje $(X, d)$ ser un espacio métrico y $(Y, p)$ es otro espacio métrico que tiene al menos dos elementos distintos. Mostrar que $(X, d)$ es un discreto espacio métrico (un espacio métrico se define para ser discreto si cada subconjunto abierto) si y sólo si cualquier función de $X$ $Y$es continua.

No estoy muy seguro de cómo probar esto, supongo que necesitamos utilizar el conjunto abierto caracterización de la continuidad, es decir, $f:X \rightarrow Y$ es continua si y sólo si para cada conjunto abierto $A \subset Y$, la $f^{-1}(A) = \{x \in X : f(x) \in A\} \subseteq X$ está abierto. ¿Alguien puede dar una prueba?

Answer 1

Supongamos que todos los $f: (X,d) \to (Y,p)$ es continua.

Primero vamos a $y_0 \neq y_1 \in Y$, que existen por supuesto. Por lo $r = d(y_0,y_1) > 0$. Definir $U_0 = B_p(y_0, \frac{r}{2}), U_1 = B_p(y_1, \frac{r}{2})$, estos son abiertos y disjuntos (por la desigualdad de triángulo).

Deje $A \subseteq X$. A continuación, defina $f_A: X \to Y$ $f(x) = y_0$ $x \in A$, $f(x) = y_1$ para $x \notin A$. Por supuesto, este es continua. Tenga en cuenta que $A = f^{-1}[U_0]$ (todas las $x \in A$ mapa a $y_0 \in U_0$ y todos los demás $x$ mapa a $y_1 \notin U_0$). Por lo $A$ está abierto, como la imagen inversa de un conjunto abierto.
Como $A$ fue arbitraria, todos los subconjuntos de a $X$ son abiertos, es decir $X$ tiene la topología discreta.

De $Y$ solo tiene 2 puntos discretos en el subespacio $\{y_0, y_1\}$ $X$ nada de la métrica.

Answer 2

La dirección de avance de la siguiente manera por el hecho de que $f^{-1}(A) \subset X \Rightarrow f^{-1}(A)$ está abierto en $X$, por la definición de la topología discreta.

Supongamos $X$ no es discreto. Entonces existe un subconjunto $B \subset X$ tal que $B$ no está abierto. Denotar los dos elementos distintos $s,t \in Y$. Deje $g$ ser el mapa que toma todos los elementos de a $B$ $s$y todos los elementos en $B^c$$t$. Ahora consideremos el conjunto abierto \begin{align*} C \doteq \{y \in Y : p(s,y) < \frac{p(s,t)}{2}\} \end{align*} es decir, el open de bola alrededor de $s$ con radio la mitad de la distancia entre el$s$$t$. A continuación,$g^{-1}(C) = B$. Esto es una contradicción ya que el $g$ que supone ser continua, sino $C$ es abierto y su inversa de la imagen no lo es.