El teorema de Hahn-Mazurkiewicz para espacios no-métrico

Question

Estoy en busca de un sí o ninguna respuesta a la pregunta siguiente, aunque si hay una simple explicación me gustaría así:

¿Si $X$ es una imagen continua (no necesariamente metrizable) de $[0,1]$, entonces es $X$ necesariamente localmente conectados?

Solo falta que una aclaración aquí porque muchas veces metrizability se asume implícitamente en los teoremas clásicos.

Answer 1

He aquí un contraejemplo. Deje $X$ $[0,1]$ con la topología que un subconjunto $U\subset[0,1]$ es abrir el fib es una unión de intervalos de la forma $(1/(n+1),1/n)$ $n$ un entero positivo, con la restricción adicional de que si $(1/2,1)\subseteq U$ $(1/(n+1),1/n))\subseteq U$ para todos, pero un número finito de $n$. Claramente $X$ es una imagen continua de $[0,1]$, ya que la identidad del mapa de $[0,1]\to X$ es continua. Pero $X$ no está conectado localmente en cualquier punto de $(1/2,1)$, ya que cualquier barrio de $U\neq X$ a un punto de $(1/2,1)$ contiene $(1/(n+1),1/n)$ algunos $n>1$ y, a continuación, $(1/(n+1),1/n)$ $U\setminus (1/(n+1),1/n)$ es un trivial de la partición de $U$ en bloques abiertos.

Nota sin embargo que si se requiere que el $X$ no es sólo una imagen continua, pero un cociente de $[0,1]$ (que es automática si $X$ es metrizable), a continuación, $X$ debe ser conectado localmente. En efecto, supongamos $q:[0,1]\to X$ es un cociente mapa, $x\in X$, e $U\subseteq X$ es un barrio de $x$. Para cada una de las $t\in q^{-1}(\{x\})$, elija un intervalo abierto alrededor de $t$$q^{-1}(U)$, y deje $V_0$ ser la unión de esos intervalos. Tenga en cuenta que $q(V_0)$ está conectado, como una unión de conjuntos conectados que se traslapan en $x$. Ahora, para cada una de las $t\in q^{-1}(q(V_0))$, elija un intervalo abierto alrededor de $t$$q^{-1}(U)$, y deje $V_1$ ser la unión de esos intervalos. De nuevo, $q(V_1)$ está conectado, ya que es una unión de conjuntos conectados todos los que cruzan el conjunto conectado a $q(V_0)$. La repetición de esta manera inductiva, tenemos una secuencia anidada de abrir conjuntos de $V_n\subseteq q^{-1}(U)$ tal que $q(V_n)$ se conecta para cada una de las $n$ $V_n$ contiene todos los de $q^{-1}(q(V_{n-1}))$. Deje $V=\bigcup V_n$. A continuación,$V=q^{-1}(q(V))$, lo $q(V)$ está abierto. Por otra parte, $q(V)$ se conecta, contiene $x$, y está contenida en $U$. Esto demuestra que $X$ está conectado localmente.

(De hecho, este argumento más general muestra que cualquier cociente de un local conectado espacio está conectado localmente.)