Me pregunto por qué la expansión de Taylor de $\sin(x)$$\cos(x)$, por ejemplo, convergen en todas partes en el dominio. Pero la expansión de la $\frac{1}{1-x}$ converge para $|x| < 1$. Puedo calcular es trivialmente mediante la prueba de razón y entender que los términos deben disminuir geométricamente con la expansión de $\frac{1}{1-x}$ a la convergencia. Pero mi pregunta es más orientado hacia el por qué este es el caso: ¿por qué algunas funciones tienen el poder de la serie' la que convergen todas partes y algunos que convergen sólo en un cierto intervalo? En otras palabras, además de hacer la prueba de razón, no veo ningún tipo de patrón o razonamiento de por qué este es el caso. Hay algunos de mayor nivel de explicación que alguien puede dar a una persona como yo, que aún no ha tomado real o complejo análisis, si la respuesta se encuentra en los campos? Ya estoy un poco familiarizado con el hecho de que se llama radio de convergencia debido a que converge en un disco en el plano complejo, pero nada más. Gracias.
Respuesta
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La respuesta es sí, hay alguna explicación simple de por qué sucede esto. Para entender mejor esto, usted necesita tomar una clase en el Análisis Complejo.
Hecho 1 Una función real es igual a una potencia de la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-z)^n$ $(a-R, a+R)$ si y sólo si, existe una función compleja $g$, que es diferenciable en a $|z-a|<R$ tal que $f=g$$(a-R,a+R)$.
Hecho 2 de Una función compleja es igual con su serie de Taylor en $|z-a|<R$ si y sólo si es diferenciable en a $|z-a|<R$.
Se sigue de Hecho 2, que el radio de convergencia de una analítica de la función (real o compleja) es la distancia al punto más cercano en el complejo de la llanura, donde la función no es diferenciable.
Desde $\sin(x), \cos(x)$ puede extenderse a funciones complejas que son analíticas en todas partes, el radio de convergencia es $\infty$.
Para $\frac{1}{1-x}$, o más interesante aún,$\frac{1}{1+x^2}$, el radio de convergencia en $a=0$ es simplemente la distancia a$1$$\pm i$,$1$.
