Esto es realmente sólo un punto de partida y no una respuesta, pero es demasiado largo para ser un comentario.
Como dije en mi primer comentario, quieres poner una estructura de álgebra de Hopf en $A = \Bbb Z[x]/(f)$ que es a la vez conmutativo y cocomutativo. Es decir, se necesitan homomorfismos de anillo: \begin {align*} e : \Bbb Z& \to A& \text {unidad} \\ \epsilon : A& \to\Bbb Z& \text {counit} \\ \mu : A \otimes_ { \Bbb Z}A& \to A& \text {multiplicación} \\ \Delta : A& \to A \otimes_ { \Bbb Z}A& \text {comulgación} \\ S : A& \to A& \text {antipode} \end {align*} tal que se cumplan las siguientes condiciones: \begin {align*} \mu\circ (id_A \otimes\mu ) &= \mu\circ ( \mu\otimes id_A)& \text {asociación} \\ id_A &= \mu\circ (id_A \otimes e) \circ (A \xrightarrow { \sim } A \otimes\Bbb Z)& \text {identidad} \\ \mu &= \mu\circ\tau & \text {comutatividad} \\ (id_A \otimes\Delta ) \circ\Delta &= ( \Delta\otimes id_A) \circ\Delta & \text {coasociación} \\ id_A &= (A \otimes\Bbb Z \xrightarrow { \sim }A) \circ (id_A \otimes\epsilon ) \circ\Delta & \text {coidentidad} \\ \tau\circ\Delta &= \Delta & \text {conmutación} \\ \Delta\circ\mu &= \left ( \mu\otimes\mu\right ) \circ\left (id_A \otimes\tau\otimes id_A \right ) \circ\left ( \Delta\otimes\Delta\right )& \text {compatibilidad} \\ \Delta\circ e &= (e \otimes e) \circ ( \Bbb Z \xrightarrow { \sim } \Bbb Z \otimes\Bbb Z) \\ \epsilon\circ\mu &= ( \Bbb Z \otimes\Bbb Z \xrightarrow { \sim } \Bbb Z) \circ ( \epsilon\otimes\epsilon ) \\ e \circ\epsilon &= \mu\circ (S \otimes id_A) \circ\Delta & \text {antipode}, \\ \end {align*} donde $\tau : A\otimes A\to A\otimes A$ denota el mapa de "coordenadas de conmutación" $x\otimes y\mapsto y\otimes x$ . $A$ es ya un conmutador $\Bbb Z$ -álgebra, por lo que las tres primeras condiciones no añaden nada nuevo. La condición que mencionas, que $f$ tiene un factor lineal, surge inmediatamente como resultado de la existencia de un conit, ya que un mapa $A\to\Bbb Z$ debe enviar [la clase de] $x$ en $A$ a una raíz entera de $f$ .
Si se escribe la comulgación potencial en $x$ como $\Delta(x) = \sum_{i,j\geq 0} n_{i,j} x^i\otimes x^j$ y usar las otras condiciones, podrías conseguir algunas cosas. Por ejemplo, $$ (id_A\otimes\Delta)\circ\Delta(x)= (\Delta\otimes id_A)\circ\Delta(x) $$ implica que $$ \sum_{i,j\geq 0}\left[n_{i,j} x^i\otimes\left(\sum_{k,\ell\geq 0} n_{k,\ell} x^k\otimes x^\ell\right)^j\right]= \sum_{i,j\geq 0}\left[n_{i,j} \left(\sum_{k,\ell\geq 0} n_{k,\ell} x^k\otimes x^\ell\right)^i\otimes x^j\right], $$ y $$ id_A(x) = (A\otimes\Bbb Z\xrightarrow{\sim}A)\circ(id_A\otimes\epsilon)\circ\Delta(x) $$ implica que $$ x = \sum_{i,j\geq 0} n_{i,j}\epsilon(x)^j x^i, $$ para que $\sum_{j\geq 0} n_{1,j}\epsilon(x)^j = 1,$ y para $i\geq0$ , $i\neq 1$ , usted tiene $\sum_{j\geq 0} n_{i,j}\epsilon(x)^j = 0.$ $\tau\circ\Delta = \Delta$ implica que $n_{i,j} = n_{j,i}$ y así sucesivamente.
Tal vez un buen lugar para empezar sería arreglar $\epsilon$ (o fijar la raíz distinguida de $f$ si lo desea): digamos que $\epsilon(x) = 0$ . Entonces $f$ no tiene ningún término constante, y algunos de los resultados anteriores se vuelven particularmente sencillos. Se obtiene que $$ 1 = \sum_{j\geq 0} n_{1,j}\epsilon(x)^j = n_{1,0}, $$ y para $i\geq0$ , $i\neq 1$ , usted tiene $$ 0 = \sum_{j\geq 0} n_{i,j}\epsilon(x)^j = n_{i,0}. $$
Por supuesto, queda por ver cómo se puede interpretar la existencia de tal $\Delta$ (y $S$ ) como condición para $f$ sí mismo.
