En mi estudio de la mecánica cuántica hasta la fecha, todavía no he encontrado la ecuación de Dirac, pero al mejor de mi conocimiento, la ecuación de Dirac es el primer lugar donde se puede demostrar matemáticamente que un electrón tiene una tirada de $\pm\hbar/2$. Si una versión relativista de gestión de calidad (es decir, la ecuación de Dirac) es el primer lugar que usted puede determinar una partícula de espín, entonces ¿por qué la noción de spin surgir cuando usted está considerando los valores propios de la no-relativista operadores de $L_z$ $L^2$ (por supuesto, cuando usted mira a los valores propios de estos operadores, puede cambiar el nombre de ellos como $J_z$ $J^2$ para tomar en cuenta el giro del sistema)? He aprendido acerca de la tirada, y saber que surge de la necesidad de rotar los componentes de algunos de spinor valores de función de onda, pero me parece extraño que la noción de medio entero autovalores de spin surge en un estudio de la mecánica cuántica antes de la función de onda es aún considerado un spinor, o incluso antes de que la formulación relativista de la mecánica cuántica se considera. Entonces, ¿por qué los autovalores de giro se muestran antes de considerar spinor wavefunctions y antes de que la ecuación de Dirac es considerado?
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En la mecánica cuántica, la $\overrightarrow L$ operador y los asociados observables $L^2$ $L_z$ ya existía en nonrelativistic QM. Las funciones propias de $L^2$ $L_z$ son los armónicos esféricos y los autovalores son $\hbar^2l(l+1)$ $\hbar m$ respectivamente. Los valores de $l$ puede ser integer (correspondientes a los armónicos esféricos) y la mitad entero (correspondiente a un divergentes solución a la ecuación diferencial). Dado un valor de $l$, los valores permitidos de $m$ fue de $-l$ $l$en número entero de pasos, con un total $2l+1$ degeneración.
Usted puede utilizar el hecho de que los observables experimentales están relacionados con el momento angular de los operadores. En particular, la energía de un dipolo en un campo magnético es proporcional a $L_z$. Cuando los experimentos se realizaron en el hidrógeno, se observó una serie de efectos que sugería electrones tener vuelta. En primer lugar, los electrones se ocuparon de hidrógeno orbitales (y otro átomo de orbitales) en parejas. El principio de exclusión de Pauli prohíbe electrones ocupen el mismo estado, pero si se añade un nuevo número cuántico con dos estados, puede explicar el comportamiento de la tabla periódica. Los experimentos con el Hidrógeno en los campos magnéticos mostraron que los niveles de energía se separaron. No era el esperado comportamiento de la carga en movimiento la creación de un dipolo magnético. Esto produjo un extraño escisiones en los niveles de energía (como era de esperar para el movimiento de los electrones en armónico esférico de los estados). Pero también hubo división de los estados de energía que produce un efecto uniforme. Un último efecto vale la pena mencionar, y la que realmente demuestra que los electrones tienen espín intrínseco $\frac{1}{2}\hbar$ es que si usted envía un haz de rayos catódicos a través de un campo magnético, que se dividirá en dos de las vigas en la dirección del campo magnético, lo que indica que el electrón era un dipolo magnético con sólo dos estados de spin.
Estas y otras observaciones, plomo físicos a la conclusión de que los electrones tienen momento angular intrínseco de magnitud $\frac{1}{2}\hbar$.
La relación entre "el impulso angular orbital" y "intrínseca spin" es interesante.
Voy a suponer que usted sabe algo acerca de la teoría de la representación. Un buen lugar para comenzar es aquí.
Pensar sobre el Hamiltoniano del átomo de hidrógeno.
$$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}$$
El descuento de giro, la función de onda de un electrón (en la posición de base) es sólo una función $\psi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}$. El grupo de rotaciones en tres dimensiones, $SO(3)$, de forma natural actúa sobre las funciones de este formulario. Es decir, para una matriz de $R \in SO(3)$, la acción está dada por
$$U(R) \psi(x) = \psi(R^{-1} x).$$
(La inversa es necesario porque la $SO(3)$ no es abelian.) En mi ecuación anterior, $U$ es un mapa que toma elementos de $SO(3)$, los cuales son especiales ortogonal de matrices $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, a los elementos que actúan en nuestro espacio de estado. Si llamamos a nuestro espacio de estado $\mathcal{H}$,$U(R) : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Además $U(R)$ es unitaria porque $U(R) \psi$ tiene la misma norma como $\psi$.
Este es, por supuesto, una representación de $SO(3)$ en nuestro espacio de estado. No es de extrañar que la teoría de la representación es tan importante en la mecánica cuántica. Estado de los espacios en la mecánica cuántica son espacios vectoriales. Cuando el grupo actúa en un espacio de estado, por lo tanto, actúa en un espacio vectorial. Esto es todo lo que la teoría de la representación es!
Aquí está lo interesante: para todos los $R \in SO(3)$, tenemos
$$[\hat H, U(R)] \psi(x) = 0 $$ $$\Rightarrow [\hat H, U(R)] = 0. $$
En otras palabras, el Hamiltoniano es invariante bajo rotaciones.
Ahora, $U$ es una representación, pero no es una irreductible de la representación. Podemos dividir el espacio vectorial $\mathcal{H}$ en subespacios tales que $U(R)$ actúa como una representación irreducible en cada subespacio. Vamos a llamar a estos subespacios $\mathcal{H}_n$.
El hecho de que $[\hat H, U(R)] = 0$ tiene dos consecuencias importantes (que supongo que no son muy distintas).
Si $\psi$ es en definitiva un estado de energía con la energía de las $E$, $U(R) \psi$ es también un claro estado de energía con la energía de las $E$. Esto puede ser visto a través de la siguiente cálculo:
$$\hat H U(R) \psi = U(R) \hat H \psi = U(R) E \psi = E U(R) \psi$$
Esto también significa que después de un tiempo de evolución, un estado que vive en una particular representación irreducible, a continuación, después de un tiempo de evolución que seguirá en la misma representación. Si un estado vive en una representación particular $\psi \in \mathcal{H}_n$$U(R) \psi \in \mathcal{H}_n$. Que los estados en una representación después del tiempo de evolución se sigue del hecho de que la evolución en el tiempo está dada por los operadores de $e^{-i \hat H t / \hbar}$.
$\hat H$ debe actuar como una constante en cada una de las $\mathcal{H}_n$. En otras palabras, todos los vectores en cada irreductible subespacio $\mathcal{H}_n$ deben ser vectores propios de a $\hat H$ con el mismo autovalor. Así que todos los vectores en $\mathcal{H}_1$ son vectores propios de a $\hat H$ con el autovalor $E_1$, todos los vectores en $\mathcal{H}_2$ son vectores propios de a $\hat H$ con el autovalor $E_2$, etc. Esto es sólo Schur del lexema.
Puede que ahora esté preguntando, "bueno, eso es genial, pero lo que son las representaciones irreducibles de $\mathcal{H}$? ¿Qué son los $\mathcal{H}_n?$ La respuesta es que la irreductible de las representaciones de nuestro espacio de estado son sólo los armónicos esféricos (multiplicado por el correspondiente radial de la función de hacerlos energía autoestados).
Esto no es sorprendente. Si usted toma alguna combinación lineal de los armónicos esféricos de un determinado $l$
$$a_1 Y^l_1(\theta, \varphi) + a_2 Y^l_2(\theta, \varphi) + a_3 Y^l_3(\theta, \varphi) + \ldots$$
y rotar los argumentos, todo lo que va a cambiar son las $a_i$'s! Esto es lo que los armónicos esféricos son. Esta es la manera más fácil de ver que son representaciones de $SO(3)$.
Así que está bien. Permite copia de seguridad. Las representaciones de nuestro espacio de estado se descomponen en estos armónicos esféricos, que la de los subespacios propios de nuestro operador de energía.
Resulta que las representaciones irreducibles de $SO(3)$ pueden ser marcadas por un número impar, que es la dimensión de la representación. Para $\mathcal{H}$, cada una de estas representaciones irreducibles es presentar exactamente una vez y sin repeticiones. La energía más baja autoespacio será el trivial de la representación. El siguiente subespacio propio será de 3 dimensiones. El próximo será de 5 dimensiones, y así sucesivamente. Usted puede reconocer a $1, 3, 5, 7, \ldots$ como el número de electrones en cada suborbital de un átomo. (Bueno, a multiplicar por 2 a cuenta de la degeneración de espín!)
Ahora bien, eso explica por qué las representaciones de $SO(3)$ debe ser importante en la mecánica cuántica. Ahora permítanme explicar qué tiene esto que ver con el momento angular.
$$\hat L_j = -i \hbar (\vec r \times \nabla)_j$$
El operador $\hat L^2$ también conmuta con $U(R)$. Así que la historia nos ha hilado acerca de lo que sucede cuando $\hat H$ viajes con $U(R)$ se aplica aquí también.
Pero, en realidad, no hay más. No por casualidad, $\hat L_x$, $\hat L_y$ y $\hat L_z$ son los generadores de $U(R)$ (en la Mentira de álgebra sentido). Es decir,
$$e^{i \theta \hat L_x / \hbar}$$
es una rotación alrededor de la $x$-eje en un ángulo $\theta$, y así sucesivamente.
Así que después de todo de que la exposición, aquí es lo que el impulso angular orbital tiene que ver con el giro: $SO(3)$ sí es sólo una representación de $SU(2)$. (Es la vuelta 1 a la representación.) Por lo tanto, cualquier sistema con un $SO(3)$ simetría se va a romper al igual que lo haría si tuviera un $SU(2)$ simetría. Las relaciones de conmutación de $\hat L_i$ son los mismos que para la Mentira álgebra de $SU(2)$. Larga historia corta: sólo son cosas muy parecidas.
Supongo que detuvieran al final, pero espero que los haya ayudado.
Especialmente no relativista es - para una partícula libre - Galilei invariante. Giro aparece como uno de Casimirs de la álgebra de Galilei cuando este está representado por esencialmente uno mismo-adjoint los operadores en su dominio de Gårding en una separable inf-dim. Espacio de Hilbert. La obra de Bargmann (1954) y Levy-Leblond en la década de 1960 debe ser autoexplicativa (para más detalles, ver la otra respuesta de abajo).
Siento que mi respuesta inicial ha sido breve. Puedo ampliar ahora: la primera explicación teórica de la noción de cuántico de espín fue en el contexto de la relatividad especial (Dirac en 1928 - dos artículos en la PRSL). Fue sólo después de la teoría de grupos a través de la obra de Hermann Weyl y Eugene Wigner se estableció como las matemáticas naturales medio ambiente para el tratamiento de las simetrías en Mecánica Cuántica que la gente cuestionaba las simetrías fundamentales del espacio-tiempo. Desde QM es esencialmente no-especialmente relativista, a finales de 1954 (dentro de un contexto más amplio) el primer análisis de las representaciones proyectivas de la Galilei grupo estaba compuesto por Valja Bargmann (http://www.jstor.org/stable/1969831). Luego fue el trabajo por George Mackey que establezca la correcta fundamentos matemáticos para Bargmann el trabajo de una serie de artículos) y por último, pero no menos importante, el artículo de Levy-Leblond "Galilei Grupo y Nonrelativistic la Mecánica Cuántica" (Diario de la Física Matemática, Volumen 4, número 6, pág.776-788, 10.1063/1.1724319), que aborda la explicación teórica de la cuántico de spin.
