¿Qué área es mayor, la azul o la blanca?

Question

En el cuadrado de abajo, dos semicírculos se superponen en un patrón simétrico. ¿Cuál es mayor: el área sombreada en azul o el área sombreada en blanco?

Mi solución

Sea la longitud de cada lado del cuadrado $2r$ .
El área del cuadrado es $4r^2$ .

Los dos semicírculos tienen igual área.
Área de un semicírculo = $\frac{{\pi}r^2}{2}$ .
${\times}2 = {\pi}r^2$

Zona blanca = ${\pi}r^2 - $ área de la intersección de los dos círculos.

Sea el área de la intersección de los dos círculos $t$ .
Zona blanca = ${\pi}r^2 - t$ .

Los segmentos que componen $t$ son idénticos.
$t$ = área del segmento ${\times}2$ .

Área del segmento = Área del sector - Área del triángulo.
Ángulo del sector = $90^{\circ}$ (Los círculos tienen ambos radios $r$ y la forma exterior es un cuadrado.
Ángulo del sector $ = \frac{1}{4} * {\pi}r^2$ .
Área del triángulo $ = \frac{1}{2} * r^2$ .
Área del segmento $ = \frac{{\pi}r^2 - 2r^2}{4}$ . $t = 2 {\times} \frac{{\pi}r^2 - 2r^2}{4}$ .
$t = \frac{{\pi}r^2 - 2r^2}{2}$ .

Zona blanca $ = {\pi}r^2 - \frac{{\pi}r^2 - 2r^2}{2}$ .
Zona blanca $ = \frac{2{\pi}r^2 - {\pi}r^2 + 2r^2}{2}$ .
Zona blanca $ = \frac{{\pi}r^2 + 2r^2}{2}$ .

Zona azul = $r^2\left(4 - \frac{{\pi} + 2}{2}\right)$ .
Zona azul = $r^2\left(\frac{8 - ({\pi} + 2)}{2}\right)$ .
Zona azul = $r^2\left(\frac{6 - {\pi}}{2}\right)$ .

Si la zona blanca $-$ Zona azul $ \gt 0$ Entonces, el área blanca es más grande.

$$r^2\left(\frac{{\pi}+2 - (6 - {\pi}}{2}\right)$$
$$r^2\left(\frac{2{\pi} - 4}{2}\right)$$
$$r^2(\pi - 2)$$

$\therefore$ la zona blanca es mayor.

Mi respuesta era errónea.

¿Cuál es el error en mi solución?

La solución prevista:

Answer 1

Si sólo divide la parte inferior izquierda del área azul y mueve cada parte $90$ grado para unirlos a la parte azul principal, entonces el área de la nueva forma azul será igual a la parte blanca.

Answer 2

El área del segmento es la "cuarta parte del círculo menos el triángulo": $$ \frac{1}{4}\pi r^2-\frac{1}{2}r^2=\frac{r^2}{4}(\pi-2) $$ Así, la mitad del área blanca es "un cuarto de círculo más un triángulo menos un segmento": $$ \frac{1}{4}\pi r^2+\frac{1}{2}r^2-\frac{r^2}{4}(\pi-2)=r^2 $$ Por lo tanto, el área blanca es $2r^2$ .

Answer 3

Hubo un error en mi solución anterior. Corrijo ese error aquí.
 
Sea la longitud de cada lado del cuadrado $2r$ .
El área del cuadrado es $4r^2$ .

Los dos semicírculos tienen igual área.
Área de un semicírculo = $\frac{{\pi}r^2}{2}$ .
${\times}2 = {\pi}r^2$

Zona blanca = ${\pi}r^2 - 2 {\times}$ área de la intersección de los dos círculos.

Sea el área de la intersección de los dos círculos $t$ .
Zona blanca = ${\pi}r^2 - 2t$ .

Los segmentos que componen $t$ son idénticos.
$t$ = área del segmento ${\times}2$ .

Área del segmento = Área del sector - Área del triángulo.
Ángulo del sector = $90^{\circ}$ (Los círculos tienen ambos radios $r$ y la forma exterior es un cuadrado.
Ángulo del sector $ = \frac{1}{4} * {\pi}r^2$ .
Área del triángulo $ = \frac{1}{2} * r^2$ .
Área del segmento $ = \frac{{\pi}r^2 - 2r^2}{4}$ . $t = 2 {\times} \frac{{\pi}r^2 - 2r^2}{4}$ .
$t = \frac{{\pi}r^2 - 2r^2}{2}$ .

Zona blanca $ = {\pi}r^2 - 2\left(\frac{{\pi}r^2 - 2r^2}{2}\right)$ .
Zona blanca $ = \frac{2{\pi}r^2 - 2{\pi}r^2 + 4r^2}{2}$ .
Zona blanca $ = \frac{4r^2}{2}$ .
Zona blanca $ = 2r^2$ .

Zona azul = $r^2\left(4 - 2\right)$ .
Zona azul = $2r^2$ .

Tanto la zona azul como la blanca tienen zonas de $2r^2$ por lo que los triángulos tienen áreas iguales.