Diferentes formas de exponer la motivación de la definición de la topología del producto

Question

Supongamos que para cada $i\in\mathscr I,$ $X_i$ es un espacio topológico.

El espacio producto tiene como conjunto subyacente el conjunto producto $X =\prod \limits_{i\,\in\,\mathscr I} X_i$ y como sus conjuntos abiertos conjuntos producto de la forma $\prod\limits_{i\,\in\,\mathscr I} G_i$ donde para cada $i\in\mathscr I,$ $G_i$ está abierto y para todos, excepto para un número finito de $i\in\mathscr I,$ $G_i=X_i.$

Ahora supongamos que a uno le preguntan por qué la definición es ésa y no otra, por ejemplo, omitiendo la restricción a los factores finitos.

La respuesta que conozco al instante es ésta: Es la misma que la topología de convergencia puntual. Es decir, una red de puntos en $X$ converge a un punto en $X$ si y sólo si para cada $i\in\mathscr I,$ la proyección de la red sobre el $i$ El espacio factorial es una red que converge a la proyección del punto límite sobre ese espacio factorial.

Sin embargo, puede haber otras formas, quizá incluso mejores, de exponer la motivación. ¿Cuáles son?

Answer 1

En cualquier categoría (como la categoría Set de conjuntos, la categoría Grupo de grupos, ...), el producto de objetos $A_i$ , $i\in I$ es un objeto $P$ junto con morfismos (llamados proyecciones canónicas) $\pi_i\colon P\to A_i$ tal que para cada objeto $X$ y familia de morfismos $f_i\colon X\to A_i$ existe uno y sólo un morfismo $h\colon X\to P$ tal que $\pi_i\circ h=f_i$ para todos $i\in I$ .

Para la categoría Top de los espacios topológicos, conduce a la conocida construcción concreta.

Answer 2

La topología del producto es la topología más gruesa para la que cada proyección $\pi_i : X \rightarrow X_i$ es continua.

Esto hace que la topología del producto sea el producto categórico en la categoría de espacios topológicos. Es decir, para cualquier otro espacio $Y$ con mapas $f_i : Y \rightarrow X_i$ obtenemos un mapa único $f: Y \rightarrow X$ tal que $\pi_i \circ f = f_i$ .

Answer 3

Las dos principales razones que se me ocurren para que la topología del producto se defina de esta manera:

• Funciones continuas Dadas las funciones continuas $f_i:Y\to X_i$ para cada $i\in I$ existe una única función continua $f:Y\to\prod_{i\in I}X_i$ tal que $f_i=p_i\circ f$ para todos $i\in I$ , donde $p_i:\prod_{j\in I}X_j\to X_i$ es el mapa de proyección. De hecho, esto caracteriza de forma única la topología del producto.
• Conjuntos compactos Si cada $X_i$ es compacto, entonces el teorema de Tychnoff afirma que $\prod_{i\in I}X_i$ es compacto. Este es un teorema extremadamente poderoso, y es equivalente al axioma de elección. Esto no es cierto bajo lo que algunos pueden ver como una topología más "natural" en $\prod_{i\in I}X_i$ es decir, la topología generada por $\{\prod_{i\in I}U_i:U_i\text{ open for each }i\in I\}$ .

Answer 4

Para definirlo, me referiré al nombre que he visto más comúnmente utilizado: la topología del producto es, como otros han mencionado, la Topología Inicial https://en.wikipedia.org/wiki/Initial_topology con respecto a las proyecciones.

Un concepto dual es el de la Topología Final, que es la topología más fina puesta en el codominio en $f: Y \rightarrow X $ que hace que el conjunto sea continuo.

https://en.wikipedia.org/wiki/Final_topology .

Como ejemplo, la topología de cociente es la topología final con respecto a los mapas de cociente.

Answer 5

Observo que la definición dada parece evitar la invocación de la Elección -- sólo tengo que proporcionar un conjunto abierto para un número finito de índices. Esto podría ser una pista falsa. (Me interesaría si alguien tiene referencias que arrojen luz sobre este pensamiento).

Editar

Como parece que hay al menos dos lectores que creen que ZF es capaz de escoger elementos de infinitos productos cartesianos de conjuntos no vacíos, más detalles...

Dejemos que $\mathscr{I}$ sea contablemente infinito, y que $X_i = X$ un espacio topológico no vacío, para todo $i \in \mathscr{I}$ . Sea $T$ sea la topología de $X$ . Entonces $P = $ " $\prod_{i \in \mathcal{I}} X_i$ " ( $ = X^\omega)$ y $Q = $ " $\prod_{i \in \mathscr{I}} T $ " ( $ = T^\omega$ ) son wffs que ZF no puede demostrar que son conjuntos. ZF puede demostrar que los productos cartesianos finitos arbitrarios son conjuntos, pero no tiene ningún mecanismo para identificar un producto cartesiano infinito como un conjunto. Así que, en particular, ZF no puede aplicar la Fundación a $Q$ una base de la topología de caja en cualquier $P$ es, para obtener un elemento arbitrario de $Q$ . En cuanto se añade un axioma adecuado, por ejemplo, el axioma de elección contable, estos obstáculos desaparecen.

Sin embargo, dejemos $Q' = $ " $\prod^{(\text{finite})}_{i \in \mathscr{I}} T $ ", donde el superíndice "(finito)" significa que se trata de la colección de mapas de $\mathbb{N}$ a $T$ donde, para cada miembro de la colección, sólo hay un número finito de elementos de $\mathbb{N}$ tienen una imagen distinta de $X$ . Como la elección finita es un teorema de ZF, podemos construir la set de los miembros de $Q$ con sólo la primera $0$ elementos de $\mathbb{N}$ no se asigna a $X$ El set de los miembros de $Q$ con sólo la primera $1$ elementos de $\mathbb{N}$ no se asigna a $X$ y así sucesivamente por inducción. A través de la comprensión, estos conjuntos pueden ser ensamblados en las imágenes de otra función de $\mathbb{N}$ permitiendo a ZF demostrar que $Q'$ es un conjunto. Dado que $T$ es no vacía, sabemos que la imagen de $1$ bajo este nuevo mapa es no vacío. Ahora la Fundación ZF permite "dejar $U \in T^\omega$ ".

Así que la topología del producto puede enmarcarse completamente en el entorno de ZF (para productos contables de espacios). Pero la topología de caja ya requiere un axioma de elección para el producto cartesiano infinito más pequeño.