La interpretación geométrica del corchete de Poisson

Question

" La mecánica hamiltoniana es la geometría en fase. "

El corchete de Poisson surge de forma natural en la mecánica hamiltoniana, y como esta teoría tiene una elegante interpretación geométrica, me interesa conocer la interpretación geométrica del corchete de Poisson.

He leído en algún sitio que el paréntesis de Poisson de dos funciones $f$ y $g$ de las variables dinámicas $(q_i,p_i,t)$ dado por:
$$\{f,g\}=\sum_i \left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$$

es el producto punto en el espacio de fase del gradiente "ordinario" de $f$ y el gradiente simpléctico de $g$ . Permítanme ilustrar esta interpretación..

Como sé, el gradiente en el espacio de fase es $(\partial_q,\partial_p)$ y el gradiente simpléctico es $(\partial_p,-\partial_q)$ (es decir, es sólo el gradiente girado por $90^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj). Creo que el producto punto es evidente ahora.

Preguntas.

• ¿Cuál es el significado/significado de la interpretación del producto punto?
• ¿Existe alguna otra interpretación geométrica del corchete de Poisson?

Answer 1

La importancia proviene de las ecuaciones de los movimientos: $$ \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}\, ,\qquad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} $$ que se puede reescribir como $$ \dot{q}=\{q,H\}\, ,\qquad \dot{p}=\{p,H\} $$ En particular, para una función arbitraria de $f(p,q)$ tenemos $$ \frac{d}{dt}f(p,q,t)=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}\, . $$ Geométricamente, los cambios de coordenadas en el espacio de fase (es decir, la transformación canónica) preservan el corchete de Poisson, es decir, la transformación $(q,p)\to (Q(q,p),P(q,p)$ es tal que $$ \{q,p\}=\{Q,P\}=0\, , $$ y así en este sentido, y pensando en $q$ y $p$ como "vectores base", la transformación canónica preserva el corchete de Poisson de la misma manera que la rotación preserva el producto punto entre dos vectores. En esta interpretación se conserva una cantidad (es decir $\dot f(q,p,t)=0$ ) cuando es Poisson-ortogonal al Hamiltoniano, por ejemplo.

Answer 2

El corchete de Poisson es el corchete de un álgebra de Lie definido por la 2 forma simpléctica.

Son muchas cosas que hay que desmenuzar, así que vamos a repasarlas poco a poco. Una forma de 2 $\omega$ es un bitensor antisimétrico $\omega_{\mu\nu}$ . Si $\omega_{\mu\nu}x^\nu \neq 0$ en los puntos donde $x^\nu \neq 0$ entonces $\omega$ se dice que no es degenerado. Así que $\omega$ es como el tensor métrico, excepto que es anti -simétrico en lugar de simétrico. Para ser symplectic el "rizo" ("derivada exterior") de $\omega$ también debe ser cero, $(d\omega)_{\mu\nu\rho} = \partial_{[\mu} \omega_{\nu\rho]} = 0$ donde los paréntesis indican la antisimetrización completa.

Desde $\omega_{\mu\nu}$ es no degenerado, como el tensor métrico habitual, define un isomorfismo entre vectores (índice arriba) y formas únicas (índice abajo). Si $f$ es una función escalar, entonces $\partial_\mu f$ es naturalmente una forma única. Con este isomorfismo, podemos definir un campo vectorial asociado $X_f^\mu$ . Obsérvese que, en términos de componentes concretos, lo que hace esto es bastante diferente de la operación habitual de subir y bajar índices en la relatividad. Por ejemplo, en 2 dimensiones, cualquier forma 2 simpléctica puede ser representada por la matriz $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ para que si $\partial_\mu f$ tiene componentes $(a, b)$ , $X_f^\mu$ tiene componentes $(b,-a)$ .

Como podemos obtener formas únicas a partir de escalares tomando el gradiente, podemos definir una operación sobre escalares $f,g$ como $(f,g) \mapsto \omega(X_f, X_g)$ . Se puede comprobar que esta operación es lineal en ambos argumentos, antisimétrica, y satisface la identidad de Jacobi (por el requisito de que la derivada exterior $d\omega$ desaparece), por lo que define un álgebra de Lie.

Si se utiliza la representación matricial de $\omega$ anterior y que en las coordenadas $p,q$ los componentes de $\partial_\mu f$ son $(\partial f/\partial p, \partial f/\partial q)$ entonces se puede comprobar que esto coincide con la definición habitual del corchete de Poisson en coordenadas. La extensión a $2n$ dimensiones con coordenadas $p_i, q_i,\, i = 1,\ldots,n$ se encuentra sustituyendo $1$ por el $n\times n$ matriz de identidad en la matriz anterior. Un teorema de Darboux dice que esto siempre se puede hacer localmente.

La referencia canónica para esto es V. I. Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica .

Answer 3

Combine $q,\,p$ en un único vector $y$ Se dice que vive en el espacio de fase (que por supuesto es par-dimensional). El PB es $\partial_i f\omega^{ij}\partial_j g$ donde $y_i$ es un componente de $q$ o $p$ y $\omega^{ij}\partial_j g$ es el gradiente simpléctico, y la matriz/ $2$ -forma $\omega$ se deja como índice para el lector. La interpretación geométrica es que el espacio de fase es un colector simpléctico un colector equipado con un determinado tipo de $2$ -forma.