El corchete de Poisson es el corchete de un álgebra de Lie definido por la 2 forma simpléctica.
Son muchas cosas que hay que desmenuzar, así que vamos a repasarlas poco a poco. Una forma de 2 $\omega$ es un bitensor antisimétrico $\omega_{\mu\nu}$ . Si $\omega_{\mu\nu}x^\nu \neq 0$ en los puntos donde $x^\nu \neq 0$ entonces $\omega$ se dice que no es degenerado. Así que $\omega$ es como el tensor métrico, excepto que es anti -simétrico en lugar de simétrico. Para ser symplectic el "rizo" ("derivada exterior") de $\omega$ también debe ser cero, $(d\omega)_{\mu\nu\rho} = \partial_{[\mu} \omega_{\nu\rho]} = 0$ donde los paréntesis indican la antisimetrización completa.
Desde $\omega_{\mu\nu}$ es no degenerado, como el tensor métrico habitual, define un isomorfismo entre vectores (índice arriba) y formas únicas (índice abajo). Si $f$ es una función escalar, entonces $\partial_\mu f$ es naturalmente una forma única. Con este isomorfismo, podemos definir un campo vectorial asociado $X_f^\mu$ . Obsérvese que, en términos de componentes concretos, lo que hace esto es bastante diferente de la operación habitual de subir y bajar índices en la relatividad. Por ejemplo, en 2 dimensiones, cualquier forma 2 simpléctica puede ser representada por la matriz $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ para que si $\partial_\mu f$ tiene componentes $(a, b)$ , $X_f^\mu$ tiene componentes $(b,-a)$ .
Como podemos obtener formas únicas a partir de escalares tomando el gradiente, podemos definir una operación sobre escalares $f,g$ como $(f,g) \mapsto \omega(X_f, X_g)$ . Se puede comprobar que esta operación es lineal en ambos argumentos, antisimétrica, y satisface la identidad de Jacobi (por el requisito de que la derivada exterior $d\omega$ desaparece), por lo que define un álgebra de Lie.
Si se utiliza la representación matricial de $\omega$ anterior y que en las coordenadas $p,q$ los componentes de $\partial_\mu f$ son $(\partial f/\partial p, \partial f/\partial q)$ entonces se puede comprobar que esto coincide con la definición habitual del corchete de Poisson en coordenadas. La extensión a $2n$ dimensiones con coordenadas $p_i, q_i,\, i = 1,\ldots,n$ se encuentra sustituyendo $1$ por el $n\times n$ matriz de identidad en la matriz anterior. Un teorema de Darboux dice que esto siempre se puede hacer localmente.
La referencia canónica para esto es V. I. Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica .