¿Qué es construyendo la mejor posición de descanso para dos ascensores en una historia de 10?

Question

Situación

• Mi bloque de apartamentos dispone de diez pisos.
• El primer nivel del suelo es de 1, el más alto de la historia es de 10.
• Hay dos equivalentes de los ascensores, que abarca todas las historias.

La configuración actual: Un ascensor siempre recae en el nivel 1, y la otra en el nivel 10.

Pensamientos

Estoy bastante seguro de que esto es una mala configuración y empecé a pensar en uno mejor. Mientras que el mantenimiento de un ascensor siempre en el primer nivel parece muy razonable, creo que el que está en el décimo nivel es muy ineficiente.

Una configuración eficiente sería donde la mayoría de la gente podría esperar como poco como sea posible para llegar a su nivel. Un ejemplo de la situación que ocurre es que, alguien camina de 30 metros de frente a mí en el exterior del edificio y se lleva el primer ascensor y luego tengo que esperar a la segunda para bajar de 10 a 1.

Modelado

Supongamos además:

• La gente solo utiliza el ascensor para llegar desde su historia hasta el nivel del suelo (1) y desde el nivel del suelo de la espalda a su historia.
• El número de ascensores a los usuarios es el mismo para todos los niveles.
• El uso en el tiempo es uniforme.

Mi Cálculo

Hice un "cálculo numérico" (hoja de cálculo) y se encontró que si me optimizar un ascensor $U$ de la gente que va para arriba y un ascensor para las personas que vayan hacia abajo $D$, ascensor $U$ siempre debe estar en el piso 1 y el elevador $D$ debe ser en el piso 6. Yo en comparación de todos los niveles de inicio para las personas que quieren bajar de 2-10 y un ascensor en el nivel 6 tiene el número mínimo de recorrido niveles.

Así que para la historia de la $s \in \{2..10\}$ cuando la persona startas de su descenso y $r \in \{1..10\}$ la historia donde el ascensor rest necesitamos encontrar $$min \left(\sum_{s=2}^{10} (s-1)+|s-r|\right)$$

Los valores de $r$ son:

Preguntas

Teniendo en cuenta los puntos de Situación y de Modelado:

1. Existe una mejor posición para el elevador $D$ de nivel 6?
2. Y tal vez incluso algo mejor para $U$ a pesar de que es la posición en el primer piso parece "muy óptimo"?

Answer 1

En general, ascensor programación es un serio problema difícil (véase, por ejemplo, esta presentación y su lista de referencias para una idea de su complejidad). Su ejemplo de la situación empieza a ponerse en ¿por qué es difícil: con el fin de conocer la frecuencia con que esto sucede, usted necesita saber cómo rápidamente el ascensor viaja, relativa a la frecuencia con que llegan las personas. Y una vez que sucede, tal vez sería mejor para el despacho de la planta 10, el ascensor, pero tal vez el 1er piso ascensor va a hacer su cosa bastante rápidamente y sólo debe esperar a que se hace. Para responder este tipo de preguntas, usted necesita una gran cantidad de datos acerca de su apartamento de la situación específica; una respuesta teórica basada en algunos supuestos no se va a ningún lado útil.

Pero la parte difícil es determinar qué hacer cuando los ascensores están ocupados. Usted está preguntando acerca de que los pisos desea que los ascensores para el descanso, que es algo que solo importa cuando ellos no son particularmente ocupado. Y en ese caso, junto con sus supuestos, podemos llegar a algo manejable.

Así, además de los supuestos realizados, también voy a suponer que:

• Sólo una persona quiere usar el ascensor en un tiempo, por lo que los ascensores están siempre en su reposo pisos cuando alguien quiere usar.
• Ascensores pasar de un piso a piso con una velocidad constante, por lo que un pasajero del tiempo de espera es proporcional a la distancia a la más cercana ascensor. (Esta suposición podría ser eliminado y que no va a tener el problema mucho más difícil, pero es difícil saber qué reemplazarlo.)

Además, a menos que estemos en un determinado clásico matemático broma, sus supuestos implican que un pasajero se quiere ir hacia arriba o hacia abajo con la misma probabilidad.

Esto es suficiente para resolver el problema. Tomamos un representante de la población que consta de una sola persona en cada piso más alto de querer ir hacia abajo, y 9 personas en la planta baja ganas de ir. Sobre esta población, podemos minimizar el total de tiempo de espera; es decir, la distancia total hasta el ascensor más cercano. La siguiente secuencia de comandos de python hace esto para cada una de las posibles ascensor configuración y, a continuación, le dice que es el mejor:

least_wait_time = float('inf')
passengers = [1 for i in range(0, 9)] + range(2, 11)

def wait_time(passenger, elevator1, elevator2):
    return min(abs(passenger - elevator1), abs(passenger - elevator2))

for high_elevator in range(2, 11):
    for low_elevator in range(1, high_elevator):
        total_wait_time = sum(wait_time(passenger, low_elevator, high_elevator)
            for passenger in passengers)
        print 'Elevator positions: ' + str((low_elevator, high_elevator))
        print 'Total wait time: ' + str(total_wait_time)

        if total_wait_time < least_wait_time:
            best_elevators = (low_elevator, high_elevator)
            least_wait_time = total_wait_time

print ''
print 'Optimal elevator position: ' + str(best_elevators)
print 'Optimal wait time: ' + str(least_wait_time)

Resulta que lo óptimo que hacer, teniendo en cuenta todos estos supuestos, es poner un ascensor en el piso 1 y el otro en el piso 7. Esto da un total de tiempo de espera de 15 (es decir, sobre la población de 18 personas, el más cercano ascensor en promedio de inicio de 15/18 pisos de distancia).

¿Por qué esto es diferente a la de su resultado? Porque no estamos suponiendo que el ascensor en el piso 1 se utiliza únicamente para subir. Si alguien quiere bajar de piso de 2 o 3, 1er piso ascensor ya está más cerca de ellos que el mayor de ascensor, incluso cuando el superior ascensor está en la planta 6, por lo que no es útil para mantener el más alto ascensor cerca de ellos. Así que bien podría mover el superior ascensor un poco para mantener a la gente en los pisos altos feliz.

Answer 2

Su modelo se refiere a la "baja frecuencia" modo de los ascensores Del edificio: $n\geq1$ pisos de altura, donde los suelos son numeradas de$0$$n$. Los ascensores están en reposo en suelos de $r$$s$$0\leq r<s\leq n$, y se espera para el próximo cliente. Este cliente va a llegar con una probabilidad de ${1\over2}$ suelo $0$, y con una probabilidad de ${1\over2n}$ cada uno en uno de los pisos $k\in[n]$. El tiempo de espera estimado de este cliente, es $$E(r,s)={1\over2} r+{1\over2n}\sum_{k=1}^r(r-k)+{1\over2n}\sum_{k=r+1}^{s-1}\min\{k-r,s-k\}+{1\over2n}\sum_{k=s}^n(k-s)\ .$$ En su caso $n=9$. El uso de la hoja de cálculo de potencia para el cálculo de la mínima $E(r,s)$. En cualquier caso, la parte inferior del elevador no debe estar reservado para los clientes que desean ir hacia arriba.

Answer 3

Aspectos de aula de la modelación matemática se trata en el informe conjunto denominado GAIMME desarrollado por SIAM y COMAP (el consorcio de las matemáticas y sus aplicaciones).

http://www.Siam.org/reports/gaimme-for_print.pdf

Un ejemplo extendido en este informe tiene que ver con temas de manejo de elevador. Buscar a partir de página 148 en el informe anterior.