¿Por qué la teoría de cuerdas requiere 9 dimensiones de espacio y una dimensión de tiempo?

Question

Los teóricos de cuerdas dicen que hay muchas más dimensiones ahí fuera, pero son demasiado pequeñas para ser detectadas.

1. Sin embargo, no entiendo por qué hay diez dimensiones y no cualquier otro número

2. Además, si todas las demás dimensiones están tan enrolladas en un espacio tan pequeño, ¿cómo distinguimos una dimensión de la otra?

3. Si es así, ¿cómo definimos la dimensión?

Answer 1

Permítanme abordar primero las partes 2. y 3. de la pregunta:

Las 10 dimensiones de la teoría de cuerdas son, a priori, no "enrollados" o cualquier otra cosa. Se derivan para una teoría de cuerdas en la que la versión clásica de la cuerda se propaga en d-1 dimensiones espaciales y 1 dimensión temporal, es decir, el espacio de Minkowski $\mathbb{R}^{1,d-1}$ . "Dimensión" aquí es dimensión de un colector en el sentido habitual de la geometría diferencial: número de coordenadas necesarias para distinguir unívocamente un punto de la variedad de todos los puntos cercanos a él.

Ahora, en cuanto a por qué la teoría de (super)cuerdas en el espacio plano requiere $d=10$ :

Una forma de ver la teoría de cuerdas es mediante ciertas dos dimensiones teorías de campos conformes que viven en la hoja del mundo que la cadena traza en el espacio objetivo. Doy una explicación rápida de la estructura de tales teorías aquí . La carga conforme total de la CFT combinada completa en la hoja del mundo puede verse como la anomalía cuántica de la simetría clásica de Weyl de la cuerda - para una discusión general de la relación entre anomalías y cargas centrales véase esta respuesta de DavidBarMoshe para una discusión general de la relación entre cargas centrales y cuantización, véase esta pregunta mía .

La cuantización de la cuerda bosónica (o "ingenua") tiene d campos de coordenadas que corresponden cada uno a una CFT bosónica libre con carga central $c=1$ más un "sistema fantasma" incurrido de Cuantificación BRST que tiene una carga central $c=-26$ . Los sistemas fantasma pueden tener carga central negativa porque se desacoplan de todos los procesos físicos.

Ahora bien, el procedimiento utilizado para cuantizar esta cuerda en primer lugar hace uso de que la simetría de Weyl no es anamélica, es decir. $c=0$ para la teoría completa - que sólo ocurre en $d\cdot 1 - 26 = 0$ es decir $d=26$ . Por lo tanto, la cuerda bosónica existe de forma consistente como teoría cuántica sólo en 26 dimensiones.

En super es lo que se obtiene cuando además hay fermiones viviendo en la hoja del mundo. Se llama "supercuerda" porque la nueva acción es supersimétrica, pero también podría llamarse "cuerda de espín", ya que al intentar escribir una acción de línea de mundo para una partícula con espín también se introducen dichos fermiones.

En cualquier caso, el sistema fantasma para la simetría mayor de la supercuerda tiene $c=-15$ y los fermiones contribuyen cada uno con $c=1/2$ . Así se obtienen los requisitos $\frac{3}{2}d - 15 = 0$ que se resuelve mediante $d=10$ .

Me temo que la derivación completa es bastante técnica y de poco serviría reproducirla aquí. Por último, hay que señalar que hay muchas formas equivalentes de llegar a esta restricción de dimensiones, esta no es ni mucho menos la única, pero sí la que a mí me resulta más fácil de contar. Otros podrían encontrar más intuitiva físicamente una presentación que discutiera las constantes de ordenación relacionadas con la energía del vacío, por ejemplo.

Answer 2

(1) La Teoría de Cuerdas es una teoría muy matemática basada en algunos supuestos naturales, y esto acaba relacionando la Mecánica Cuántica y la Relatividad General, como queremos. Algunas de las ecuaciones de la Teoría de Cuerdas, sin embargo, tienen una constante de proporcionalidad $c$ en él, denominado carga central . Y cuando manipulamos estas ecuaciones y las igualamos entre sí, vemos que SÓLO tienen sentido si $c=26$ . Este $c$ es la dimensión del espacio sobre la que se define a priori la Teoría de Cuerdas, así que ahora vemos que necesitamos 26 dimensiones para no tener absurdos... PERO eso sólo hizo uso de las partículas bosónicas del mundo -- ¡¡¡nos olvidamos de los fermiones!!! Aquí es donde Supersimetría entra en juego, e introduce los fermiones, y las ecuaciones se perturban y conducen a una nueva dimensión de 10 para que todo tenga sentido.

(2) Que no podamos verlo, no significa que no esté ahí... no podemos ver los átomos con el ojo, pero podemos usar herramientas para verlos... lo mismo pasa aquí, nuestra tecnología actual no puede verlos, pero esperamos cambiar esto en el futuro. AÚN MEJOR, la fórmula de la fuerza gravitatoria debería ser diferente debido a estas pequeñas dimensiones extra, por lo que planeamos averiguar estas dimensiones extra probando la fuerza gravitatoria a pequeñas distancias y observando una perturbación en la ley estándar del cuadrado inverso de Newton. Estas dimensiones adicionales son las que supuestamente hacen que la gravedad sea tan débil en comparación con las demás fuerzas de la naturaleza.

(3) una dimensión no es más que un eje de coordenadas... así que el tiempo también es una dimensión. Y al igual que tu reloj, este eje puede repetirse y no estirarse hasta el infinito.

Answer 3

Para la teoría de cuerdas bosónica, véase este . Utilizaré la misma notación estándar en esta respuesta.

Supercuerdas (en el formalismo RNS)

Sector Ramond

\begin{array}{l}0 = {{\hat G}_0}\left| \psi \right\rangle \\{\rm{ }} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n}} \left| \psi \right\rangle {\rm{ }}\\{\rm{ }} = \left( {{{\hat \alpha }_0}\cdot\,{{\hat d}_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle {\rm{ }}{\kern 1pt} \,\\{\rm{ }} = \left( {\left( {\frac{1}{2}{\ell _P}{p^\mu }} \right)\,\cdot\,\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}{\gamma ^\mu }} \right) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle \\{\rm{ }} = \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}{\ell _P}{\gamma ^\mu }{p_\mu } + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle \left( {} \right)\\{\rm{ }} = \left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}{\ell _P}{\gamma ^\mu }{p_\mu } + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle \\\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}{\ell _P}{\gamma ^\mu }{p_\mu } + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle = 0\\\left( {{\gamma ^\mu }{p_\mu } + \frac{{2\sqrt 2 }}{{{\ell _P}}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {{{\hat \alpha }_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat d}_n} + {{\hat d}_{ - n}}\cdot\;\;{{\hat \alpha }_n}} \right)} } \right)\left| \psi \right\rangle = 0\end{array}

Se trata de la ecuación de Dirac-Ramond.

Todavía en el sector de Ramond,

$${\hat L_0}\left| \psi \right\rangle = \hat G_0^2\left| \psi \right\rangle $$ =

$${\hat L_0}\left| \psi \right\rangle = \hat G_0^2\left| \psi \right\rangle $$

$$a = 0$$

Consideremos ahora un vector de estados espurios de nivel 1 de Neveu-Schwarz $\left| \varphi \right\rangle = {\hat G_{ - 1/2}}\left| \chi \right\rangle $

$$0 = {\hat G_{1/2}}\left| \chi \right\rangle = {\hat G_{3/2}}\left| \chi \right\rangle = \left( {{{\hat L}_0} - a + \frac{1}{2}} \right)\left| \chi \right\rangle $$

Así que.., $a = \frac{1}{2}$ en el sector Neveu - Schwarz.

Consideremos ahora un vector de estados espurios Ramond $\left| \varphi \right\rangle = {\hat G_0}{\hat G_{ - 1}}\left| \chi \right\rangle $ ; donde ${\hat F_1}\left| \chi \right\rangle = \left( {{{\hat L}_0} + 1} \right)\left| \chi \right\rangle = 0$

$$0 = {\hat L_1}\left| \psi \right\rangle = \left( {\frac{{{{\hat G}_1}}}{2} + {{\hat G}_0}{{\hat L}_1}} \right){\hat G_{ - 1}}\left| \chi \right\rangle = \frac{{D - 10}}{4}\left| \chi \right\rangle $$

Así, $D=10$ .

Answer 4

Se pueden plantear teorías matemáticas de cuerdas en cualquier dimensión y de cualquier tipo.

Sin embargo, no entiendo por qué hay diez dimensiones y no cualquier otro número.

En dimensiones específicas surgen de los requisitos de la física conocida encapsulada en el Modelo estándar y otros datos procedentes de la física de partículas, además del requisito de la Relatividad General y su cuantización. Los grupos unitarios especiales cuyas representaciones acomodan el SM necesitan al menos estas dimensiones. Hay modelos con más dimensiones que éstas.

Además, si todas las demás dimensiones están tan enrolladas en un espacio tan diminuto, ¿cómo distinguimos una dimensión de la otra?

No podemos movernos en los enrollados, sólo en $x,y,z$ . No necesitamos distinguirlas, como no distinguimos las moléculas del aire. Las predicciones de este tipo de teoría sobre el comportamiento de las partículas es la única forma de comprobar su existencia: la coherencia de la teoría con los datos.

Si es así, ¿cómo definimos la dimensión?

Una variable espacial ( centímetros) o temporal ( segundos) que es continua y mapea los números reales, cada dimensión en $90^{\circ}$ al resto, una extensión de cómo definimos lo normal $x,y,z$ Que algunas estén rizadas no debería molestar. Las coordenadas sobre la tierra están rizadas sobre la superficie de la esfera, por ejemplo, las $90^{\circ}$ no se sostiene allí. Se mantendría en la superficie de un cilindro, $z$ de $-\infty$ a $\infty$ , $x$ de $0$ a $2\pi r$ .

Answer 5

Para hacer cuentas. Desde que Einstein determinó que el tiempo es en realidad otra dimensión, los físicos han utilizado esa noción para ampliar la concepción del Universo e incluir dimensiones añadidas (no sensibles) para que sus matemáticas y teorías funcionen. Cabe destacar la unificación de las teorías de cuerdas de Witten, que "sólo" requirió la adición de otra dimensión.

De lo que no se dan cuenta los teóricos de las cuerdas es de que cada dimensión representa un grado de libertad añadido y, por tanto, es muy posible que el sistema no esté suficientemente restringido.

En parte por eso, algunos críticos de la teoría de cuerdas (Woit, Smolin) han llamado a la teoría de cuerdas "Ni siquiera equivocada" y "La teoría no de 'Todo' sino de 'Cualquier cosa' ".