La intuición por la Primitiva Cohomology

Question

En la compleja geometría proyectiva, hemos especificado Kähler clase $\omega$ y tenemos un Lefschetz operador $L:H^i(X,\mathbb{C})\to H^{i+2}(X,\mathbb{C})$$L(\eta)=\omega\wedge \eta$. A continuación definimos primitivo cohomology $P^{n-k}(X,\mathbb{C})=\ker(L^{k+1}:H^{n-k}(X)\to H^{n+k+2}(X))$, e incluso contamos con un agradable teorema, la Lefschetz de descomposición, que dice $H^m(X,\mathbb{C})=\oplus_k L^kP^{n-2k}$. A menudo, en los papeles, la gente acaba de demostrar que su resultado para el primitivo clases, ya que parecen ser más fácil trabajar con.

Así que, ¿qué SON exactamente primitivo clases? Sí, son cosas que algún poder de $\omega$ mata, pero ¿qué es la intuición? Por qué son una interesante distinguidos de la clase? Hay una buena razón para esperar que esta descomposición?

Answer 1

Si usted toma de Poincaré duales, entonces el producto exterior se convierte en la intersección, y el Kahler forma $\omega$ se convierte en un hyperplane $H$. A continuación, el primitivo cohomology en la dimensión $n - k$ consiste exactamente en una de esas clases cuya duales (que son la homología de las clases en la dimensión $n + k$), cuando se cruzan con $k + 1$ genérico hyperplanes nos da cero. En otras palabras, la homología de las clases que no se cruzan con algunos $(n - k - 1)$-dimensional lineal subespacio de $\mathbb{CP}^n$. El teorema de Lefschetz en este contexto dice que podemos llegar a todos los de la homología por tomar esas clases que no se cortan con un lineal subespacio de dimensión complementaria y, a continuación, la intersección con la hyperplanes.

En el caso de $k = 0$, se puede elegir el hyperplane a ser el uno en el infinito, por lo que el primitivo homología consiste en la $n$-dimensiones de la homología de las clases que se sientan en la "$\mathbb{C}^n$" parte de $\mathbb{CP}^n$, que creo que es bastante natural conjunto de clases para mirar.

Answer 2

La primitiva clases son el mayor peso de los vectores.

Duro Lefschetz dice que el operador $L$ (que algebraicas geómetras saber como la intersección de un hyperplane) es "la bajada "operador" $\rho(F)$ en una representación $\rho \colon \mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\a Extremo (H^\ast(X;\mathbb{C}))$. The raising operator $\rho(E)$ is $\Lambda$, the restriction to the harmonic forms of the the formal adjoint of $\omega \wedge \cdot$ acting on forms. The weight operator $\rho(H)$ has $H^{n-k}(X;\mathbb{C})$ as an eigenspace (= weight space), with eigenvalue (=weight) $k$.

La habitual imagen de una representación irreducible de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ es de una cadena de perlas (peso espacios) con $\rho(F)$ que te mueve hacia abajo de la cadena y la disminución de peso por 2, y $\rho(E)$ va en la dirección opuesta. El peso máximo es un entero $k$, el menor peso $-k$.

A partir de esta imagen, es claro que el espacio de mayor peso vectores en un (reducible) la representación es $\ker \rho(E)$. También es claro que, de los vectores de peso $k$, aquellos que son los más altos pesos son los que están en $\ker \rho(F)^{k+1}$. Por lo que el mayor peso de los vectores en $H^{n-k}(X; \mathbb{C})$ son aquellos en los $\ker L^{k+1}$.

Por supuesto, todo esto ignora el más sutil pregunta de cómo se explica en un invariante de la manera en que lo esta $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, o de su correspondiente grupo Mentira, que realmente es.

Añadido, el deslizamiento de Mariano en un sobre. Pero aquí es lo que es. Algebraica de los geómetras, prepárense. Fix $x\in X$, y deje $O_x = O(T_x X\otimes \mathbb{C})\cong O(4n,\mathbb{C})$. A continuación, $O_x$ actos projectively en $\Lambda^\bullet (T_x X\otimes \mathbb{C})$ a través de la spinor representación (que vive en el interior de Clifford acción). El holonomy grupo $Hol_x\cong U(n)$ también actúa sobre las formas complejas en $x$, y el "Lefschetz grupo" $\mathcal{L}$ es el centralizador de $Hol_x$$O_x$. Una prueba que $\mathcal{L}\cong GL(\mathbb{C}\oplus \mathbb{C})$. Este no solo es el grupo de la derecha, pero su Mentira álgebra viene con un estándar de base, procedente de la división de $T_x X \otimes\mathbb{C} = T^{1,0} \oplus T^{0,1}$. Ahora, $\mathcal{L}$ actúa en formas complejas en $X$, por el paralelo de transporte de$y$$x$, la actuación y el transporte de regreso a $y$. Compruebe después que la acción de los viajes con $d$$*$, por lo tanto con el Laplaciano, y así desciende a la armónica de formas = cohomology. Por último, compruebe que la acción de la $\mathcal{L}$ exponentiates el estándar de la acción de $\mathfrak{gl}_2$ donde el centro de los actos por el escalado. (Esta explicación es Graeme Segal, a través de Ivan Smith.)

Answer 3

Es cierto que son duales a la homología de clases que no pueden ser expresados como $X'\cdot H$ donde $H$ representa el hyperplane en $\mathbb C\mathbb P^n$?