El polynimial mínimo de raíz primitiva $p^{m}$-th de la unidad $\mathbb{Q}_p$

Question

La proposición 7.13 de Neukirch la HORMIGA afirma que para que una primitiva $p^{m}$-ésima raíz de la unidad $\zeta$ (p primo) la extensión de $\mathbb{Q}_{p}(\zeta)/\mathbb{Q}_{p}$ es totalmente ramificado de grado $(p-1)p^{m-1}$. En la prueba que demuestra que el polinomio $\phi(X)=X^{(p-1)p^{m-1}}+X^{(p-2)p^{m-1}}+...+1$ es el mínimo poynomial de $\zeta$$\mathbb{Q}_p$ .

Yo no puedo ver cómo obtener la congruencia $\phi(X)=(X^{p^m}-1)/(X^{p^{m-1}}-1)\equiv(X-1)^{p^{m-1}(p-1)}$ mod $p$ como se afirma en el libro. Aquí, supongo que mod $p$ mod $p\mathbb{Z}$ y no un mod $p\mathbb{Z}_{p}$ ?

También, hace Eisenstein, la irreductibilidad criterio de extender a los polinomios en $\mathbb{Q}_{p}[X]$ ?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

En $\mathbf{F}_p[X]$ (usted está buscando en el polinomio $p\mathbf{Z}$, así como un elemento de $\mathbf{F}_p[X]$), debido a que usted está en el carácter $p$, $X^{p^m}-1=(X-1)^{p^m}$, y de manera similar a $X^{p^{m-1}}-1=(X-1)^{p^{m-1}}$, por lo que el cociente, modulo $p$$(X-1)^{p^m-p^{m-1}}=(X-1)^{p^{m-1}(p-1)}$. Esta es la congruencia

$\phi(X)=(X^{p^m}-1)/(X^{p^{m-1}}-1)\equiv (X-1)^{p^m(p-1)}\pmod{p}$.

Eisenstein, el criterio se cumple para cualquier UFD $R$ y su campo de fracciones. En particular, se sostiene por $\mathbf{Z}_p$ $\mathbf{Q}_p$ (con el primer ideal $(p)$$\mathbf{Z}_p$).

EDIT: Para contestar a la pregunta planteada en los coments, en $\mathbf{F}_p[X]$, $X^{p^m}-1=(X-1)^{p^m}$ y $X^{p^{m-1}}-1=(X-1)^{p^{m-1}}$. Desde el último claramente divide la antigua (ambos son poderes de un mismo polinomio y que la primera es una mayor potencia) el cociente es un elemento de $\mathbf{F}_p[X]$, la cual puede ser comprobada directamente a la imagen (reducción) de $\phi(X)$$\mathbf{F}_p[X]$, simplemente porque, en $\mathbf{Z}[X]$, $\phi(X)=(X^{p^m}-1)/(X^{p^{m-1}}-1)$ (esta igualdad está escrito en el OP pregunta, así que supongo que se entiende).