El producto de matrices definidas positivas tiene un rastro positivo

Question

Que $ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}$ ser un real simétrico matrices definido semi positivo, quiero saber si

$ tr (A_{1} \cdot A_{2} \cdots A_{m} ) \geq 0$ ?

Cuando $m=2$, parece un problema bastante estándar y tiene un "sí" conteste.

Answer 1

$m\ge3$, No. Contraejemplo: $ A = \pmatrix{6 &-2\\ -2 & 1}, \ B = \pmatrix{1 &-2\\ -2 y 8}, \ C = \pmatrix{10 & 8\\ 8 y 10}, \ ABC = \pmatrix{-124 &-200\\ 56 y 88}. $$ Tenga en cuenta que $A,B,C$ es positiva definida.

Answer 2

Tome $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$. Tenemos $$ \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & -a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = 0 \ge 0. $$ (Por supuesto, $Ax$ es la rotación de $x$$\pi/2$, lo $Ax \cdot x = 0$ siempre). Por lo $A$ es semi-definida positiva. Pero $$ A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$ que ha negativa de seguimiento.

Así que lo que estoy diciendo es que su afirmación es falsa, porque tengo un contador de ejemplo.

EDIT : Justo lo que no me parece estúpido, la simétrica de la asunción no fue escrito en la pregunta en el momento en que esta respuesta fue escrito.

Espero que ayude,

Answer 3

El caso general no debe ser cierto para $m \ge 3$. Mira la prueba $m=2$:

\Tr(AB) $$ \DeclareMathOperator{\tr}{trace} = \tr (A ^ {1/2} B A ^ {1/2}) $$

que es claramente no negativo puesto que la última matriz es simétrica positiva definida. Pero esta prueba no funciona para $m \ge 3$ (Pruébalo! y verá) por lo que debemos esperar en ese caso un contraejemplo. Debe programa sencillo una búsqueda de contraejemplos en el caso de la matriz de tres, usted tendrá éxito.