¿Cómo pruebo que una función está bien definida?

Question

¿Cómo se prueba en general que una función está bien definida?

$$f:X\to Y:x\mapsto f(x)$$

Aprendí que necesito demostrar que cada punto tiene exactamente una imagen. ¿Eso significa que necesito demostrar las siguientes dos cosas:

1. Cada elemento en el dominio se mapea a un elemento en el codominio:
   $$x\in X \implies f(x)\in Y$$
2. El mismo elemento en el dominio se mapea al mismo elemento en el codominio: $$x=y\implies f(x)=f(y)$$

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En este momento estoy tratando de probar que esta función está bien definida: $$f:(\Bbb Z/12\mathbb Z)^(\Bbb Z/4\Bbb Z)^:[x]_{12}[x]_4 ,$$ pero estoy más interesado en el procedimiento general.

Answer 1

Cuando escribimos $f\colon X\to Y$ decimos tres cosas:

1. $f\subseteq X\times Y$.
2. El dominio de $f$ es $X.
3. Siempre que $\langle x,y_1\rangle,\langle x,y_2\rangle\in f$ entonces $y_1=y_2$. En este caso siempre que $\langle x,y\rangle\in f$ denotamos $y$ por $f(x)$.

Así que decir que algo está bien definido es decir que las tres cosas son ciertas. Si conocemos algunas de estas solo necesitamos verificar el resto, por ejemplo si sabemos que $f$ tiene la tercera propiedad (así que es una función) necesitamos verificar que su dominio es $X$ y el rango es un subconjunto de $Y$. Si conocemos esas cosas necesitamos verificar la tercera condición.

Pero, y eso es importante, si no sabemos que $f$ satisface la tercera condición no podemos escribir $f(x)$ porque ese término asume que hay una definición única para ese elemento de $Y$.

Answer 2

De acuerdo, estoy tratando de responder mi propia pregunta aquí. Así es como se define una función en "Lectura, Escritura y Demostración: Una Mirada Más Cercana a las Matemáticas".

Recuerde que una relación $f$ de $X$ a $Y$ es un subconjunto de $X\times Y$, y por lo tanto los elementos de $f$ son pares ordenados $(x,y)$.

Una función $f:X\to Y$ es una relación $f$ de $X$ a $Y$ que satisface:
i). $\forall x\in X ,\exists y\in Y :(x,y)\in f $
ii). $\forall x\in X,\forall y_1,y_2 \in Y : (x,y_1),(x,y_2)\in f\implies y_1=y_2$

Una función a menudo se llama un mapa o una asignación. El conjunto $X$ se llama el dominio y se denota por $\text{dom}(f)$, y el conjunto $Y$ se llama el codominio y se denota por $\text{cod}(f)$. Cuando conocemos cuáles son estos dos conjuntos y se cumplen las dos condiciones, decimos que $f$ es una función bien definida.

La condición i) se asegura de que cada elemento en $X$ está relacionado con algún elemento de $Y, mientras que la condición ii) se asegura de que ningún elemento en $X$ esté relacionado con más de un elemento de $Y$. Tenga en cuenta que puede ser el caso de que un elemento de $Y$ no tenga ningún elemento en $X al que esté relacionado; o que un elemento de $Y$ pueda estar relacionado con más de un elemento de $X.

Por lo tanto, como mencionó Asaf Karagila, si desea demostrar que $f$ es una función bien definida y el dominio $X$ y codominio $Y$ están dados, entonces debe mostrar que:

1. $f$ es una relación de $X$ a $Y$
   $f\subseteq X\times Y$

2. El dominio de $f$ es $X$, cada elemento en $X$ está relacionado con algún elemento de $Y$ $\forall x\in X ,\exists y\in Y :(x,y)\in f $

3. Ningún elemento de $X$ está relacionado con más de un elemento de $Y$ $\forall x\in X,\forall y_1,y_2 \in Y : (x,y_1),(x,y_2)\in f\implies y_1=y_2$

Answer 3

El problema aquí es que $[x]_{12}$ significa una clase de equivalencia de elementos de $\def\Z{\mathbb Z}\Z$, específicamente la clase de todos los $y$ tales que $x-y$ es un múltiplo de 12. Tienes algún procedimiento que dice que te dan una de esas clases de equivalencia, $[x]_{12}$, y estás calculando un valor seleccionando un elemento representativo, digamos $y$, de $[x]_{12}$, y luego haciendo algo con ese representante para obtener la respuesta, en este caso el objeto $[y]_4$. Pero esto no tiene sentido, no está "bien definido", si el valor que obtienes para la clase dada $[x]_{12}$ depende de cuál representante $y$ seleccionas de $[x]_{12}$.

Entonces tu tarea aquí es demostrar que el resultado que obtienes no depende de cuál $y$ elijas como representante de $[x]_{12}$.

Como contraejemplo, consideremos la "función" que dice que $f\left(\frac ab\right) = a+ b$. Así que por ejemplo $f\left(\frac 12\right) = 3$, simple. Pero no, espera. $\frac12$ es en realidad una clase de equivalencia; es la clase $\left[\frac12\right]_\mathbb Q$, que contiene no solo $\frac12$ sino también $\frac24$, $\frac36$, y $\frac{288}{576}$. Y con la definición dada, el valor de $f$ sí depende de cuál representante de $\left[\frac12\right]_\mathbb Q$ elijas. $\frac12 = \frac 24$, pero si usas $\frac24$ para calcular $f\left(\frac 12\right)$ obtienes 6 en lugar de 3. Entonces esto no es una función bien definida; no es una función en absoluto.

En tu ejemplo necesitas demostrar que si te dan una clase, digamos $[x]_{12}$, y seleccionas un elemento $y$ de ella (que podría ser cualquier entero, siempre que $y-x\equiv 0\pmod{12}$), y luego consideras la clase de equivalencia $[y]_4$, la clase que obtienes no depende de qué $y$ elegiste de $[x]_{12}$. Si lo hace, entonces esta operación $f$ es tan insignificante como la del párrafo anterior que afirmaba tener $f\left(\frac ab\right) = a+b$.

Answer 4

Estás tratando de demostrar $$f:(\Bbb{Z}/12\Bbb{Z})^*\to(\Bbb{Z}/4\Bbb{Z})^*:[x]_{12}\mapsto[x]_4$$

Por lo tanto, tienes que demostrar que esta regla de asignación no depende del representante de la clase de equivalencia. Es decir, $$[x]_{12}=[y]_{12} \implies [x]_{4}=[y]_{4}$$

Por ejemplo, $[16]_{12}=[4]_{12}$ entonces $[16]_{4}=[4]_{4}$.

También necesitas demostrar que $$ [x]_{12} \in (\Bbb{Z}/12\Bbb{Z})^* \implies [x]_{4} \in (\Bbb{Z}/4\Bbb{Z})^* $$

Answer 5

Una opción sería recurrir a Álgebra Relacional, en un estilo pointfree.
Una lógica de relaciones fue propuesta por primera vez por Augustus de Morgan, en 1867.

Las funciones son simplemente casos especiales de relaciones (de hecho, de relaciones binarias).

Dados los tipos $A$ y $B$, denotamos una relación $R$, de $A$ a $B$, como $B \xleftarrow{R} A.
Escribimos $b \, R \, a$ para denotar $(b,a) \in R.
En el caso particular de las funciones, para una función $f$, escribir $b \, f \, a$ simplemente significa $b = f \, a$, ya que esperamos que $b$ sea único.

Por lo tanto, $b \, R \, a$ es una generalización de $b \, f \, a.
Esta generalización se aplica de muchas maneras. Por ejemplo, la igualdad en las funciones, $f=g$, se generaliza a la inclusión en las relaciones, $R \subseteq S$, lo que significa que $R$ es (a lo sumo) $S.

Además de la inclusión, un concepto importante a tener en cuenta es la conversa de una relación.
La conversa de $R$, $B \xleftarrow{R} A$, es $R^\circ$, $A \xleftarrow{R^\circ} B$ (simplemente gira las flechas en sentido contrario).

La conversa de una función siempre existe, como una relación (a veces, en casos especiales, también como una función).

La composición de funciones, $f \cdot g$, también se generaliza a las relaciones, $R \cdot S$, de la misma manera.

Entonces, ¿qué es lo que realmente define cuándo una relación dada es una función?$\vphantom{Some commands added; A.K.}\newcommand{\img}{\operatorname{img}}\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

Veamos una función especial, $\id$.
Tenemos $b \, \id \, a \equiv b = a. No muy difícil.

¿Por qué es importante $\id$?

• $R$ es reflexiva si $\id \subseteq R$.
• $R$ es coreflexiva si $R \subseteq \id$.

Luego definimos:

• Núcleo de $R$ como $\ker R \doteq R^\circ \cdot R$.
• Imagen de $R$ como $\img R \doteq R \cdot R^\circ$.

Finalmente, tenemos los siguientes hechos:

• $\ker R$ es reflexiva $\equiv$ $R$ es entera.
• $\ker R$ es coreflexiva $\equiv$ $R$ es inyectiva.
• $\img R$ es reflexiva $\equiv$ $R$ es sobreyectiva.
• $\img R$ es coreflexiva $\equiv$ $R$ es simple.

Decimos que una relación $f$ es una función si $f$ es entera y $f$ es simple.
O dicho de otra manera, lo que quieren probar es:

• $\id \subseteq ker f$ (se simplifica a $\id \subseteq f^\circ \cdot f$)
• $\img f \subseteq \id$ (se simplifica a $f \cdot f^\circ \subseteq \id$)

Hechos adicionales:

• $\ker (R^\circ) = \img R$
• $\img (R^\circ) = \ker R$