¿Cómo probar la siguiente identidad binomial?

Question

He intentado probarlo mediante la expansión de la izquierda, pero sin resultado alguno. ¿Por favor me podeis explicar cómo probar esta declaración?

Estoy pensando en calculus(differentiation) puede utilizarse para probar esto, ya que hay una 'i' antepone a la expresión de ' i'th término del lado izquierdo. Pero, necesito una pista. Por favor me dirija.

Answer 1

Bueno, si $n$ es impar, decir $n=2k+1,$ luego el lado derecho puede ser reescrita como $$(2k+1)(1-p)\left(\bigl((1-p)+p\bigr)^{2k}-\bigl((1-p)+(-p)\bigr)^{2k}\right).$$ Try applying the Binomial Theorem to $\bigl ((1-p) + p\bigr) ^ {2 k} $ and $\bigl ((1-p)-p\bigr) ^ {2 k} $ y ver lo que puedes hacer desde allí.

Del mismo modo, si $n=2k,$ luego el lado derecho puede ser reescrito como $$2k(1-p)\left(\bigl((1-p)+p\bigr)^{2k-1}+\bigl((1-p)-p\bigr)^{2k-1}-2(1-p)^{2k-1}\right).$$ Once again, we can start by applying Binomial Theorem to the respective powers of $(1-p) + p $ and $(1-p)-p. $

Answer 2

Comenzar con la expansión binomial de $(p+x)^n=\sum_i \binom{n}{i} p^{n-i}x^i $

Tener en cuenta

\begin{equation} (p+x)^n+(p-x)^n=2\sum_{i=0,\mbox{i is even}}^n \binom{n}{i} p^{n-i}x^i \end{equation}

Ahora derivado wrt $x$ en ambos lados y luego multiplicar ambos lados por $x$. Sustituto $x=1-p$ y moverse unos cuantos términos y obtendrás la respuesta, aunque creo que falta en tu respuesta es un factor de 2.