Rudin necesidades de una función racional $R(x)$$R(x)=x$$x=\pm \sqrt{2}$, y con coeficientes racionales, y dentro de esa clase de funciones, que se mueve más cerca de puntos de a $+\sqrt{2}$.
La idea básica para la búsqueda de niza ejemplos, es que el $R(x)$ puede ser llevado a ser lineal fraccional de transformación de $\frac{ax+b}{cx+d}$. Hay razones teóricas, que Rudin seguramente era bien consciente de que, ¿por qué soluciones razonables que existen en la clase de funciones. Dado que la idea, es un par de líneas de simple álgebra para identificar todas las posibles soluciones en la clase, y elegir la más simple.
¿Por qué debería un lineal fraccional solución existe? Ignorando el requisito acerca de los parámetros $a,b,c,d$ ser racional, el de punto fijo las condiciones son un sistema de 2 homogéneo de ecuaciones lineales en 4 variables. Soluciones existen pues, como se desprende claramente de la geometría proyectiva, donde 3 de los puntos de la línea puede ser asignado a cualquiera de las otras 3 puntos por una lineal fraccional de transformación. Y la teoría de fracciones continuas, en las que $\sqrt{2}$ tiene un periódico fracción, muestra que los coeficientes racionales requisito puede ser satisfecho en esa clase de funciones; no hay necesidad de ir a grado $2$ o superior. O tomar cualquier lineal fraccional de transformación que envía la (desordenada) conjunto de dos raíces a sí mismo, y cualquier número racional $a$ a otro número racional $b$. Por Galois teórico de la simetría consideraciones sobre el conjunto de lo que-mapas-para-lo que es invariante bajo la conjugación en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y, por tanto, la función tiene racional de los coeficientes.
Así que si usted (es decir, Rudin) sabía de esos argumentos, la primera cosa que hay que intentar es lineal fraccional transformaciones. Aquí está el cálculo:
$a + bX = X(c+dX)$ tiene soluciones $X = \pm \sqrt{2}$.
$dx^2 + (c-b)X - a$ divisible por $(X^2 - 2)$
$a = 2d \quad ; \quad b=c$.
Tomando $d=1$ con pérdida de generalidad (modificación de la escala de $(a,b,c,d)$ no cambia la fracción), todos lineal fraccional función de la forma $\frac{2 + bx}{b + x}$ que es Rudin función al $b=2$.
Para obtener la atracción hacia el positivo de la raíz necesitamos $|f'(\sqrt{2})| \leq 1$. La diferencia cociente es
$$|\frac{\frac{2+bx}{b+x} - x}{x - \sqrt{2}}| = |\frac{\sqrt{2}+x}{b+x}|$$ so that $|b+x|$ should exceed $|\sqrt{2}+x|$ at $x = \sqrt{2}$. That means $b \geq \sqrt{2}$ which excludes the smallest integer value $b=1$, but $b=2$ obras y este es el parámetro en el ejercicio.
La conclusión es que Rudin seleccionado el más pequeño ejemplo de trabajo con el entero de los parámetros. Debido a su lineal fraccional función es atraer a la raíz cuadrada positiva, y es continua en el intervalo entre las raíces, es el aumento de entre ellos, por lo que también se ajusta al requisito de envío de números positivos para los números positivos. Por lo tanto la capacidad para simplificar algunos aspectos del problema (la complicación de que la distancia de a $\sqrt{2}$ no va a ser disminuido por $R(x)$ para todos los números reales) mediante la restricción de los números reales positivos.
Que es una explicación de cómo Rudin diseñado el problema.
