¿En un grupo, implica $(xy)^n=x^ny^n$ $n\geq 3$ $xy=yx$?

Question

Que $G$ ser un grupo y que $x,y\in G$ tal que $(xy)^n=x^n y^n$ cada $n\geq 3$. ¿Sigue necesariamente que $x$ y $y$ viaje?

Mis pensamientos: de $(xy)^{n+1}=x^{n+1} y^{n+1}$ deducimos $x^{n+1} y^{n+1}=xy(xy)^n=xyx^ny^n$, donde $x^ny=yx^n$ por cada $n\geq 3$, por lo que terminamos si $x$ (o $y$) orden finito. Pero no veo cómo continuar cuando ambos $x$ y $y$ tienen orden infinito.

Me parece recordar que una pregunta idéntica (o muy cerca) fue hecha aquí en MSE hace algún tiempo, pero no pude encontrarlo.

Answer 1

Como ya tienes $x^ny=yx^n$. Por el mismo argumento, $x^{n+1}y=yx^{n+1}$. Por lo tanto, $$yx^{n+1}=xx^ny=xyx^n y así $yx=xy$.

Comentario. De hecho, esto demuestra si el % de relación $(xy)^n=x^ny^n$vale para tres enteros positivos consecutivos $n$, entonces el $x$ y $y$ viaje.