¿Cómo definir la distancia entre dos puntos en un espacio transformado conforme?

Question

Considere la posibilidad de una particular conformación de transformación de $x^\mu\rightarrow x'^\mu$, y la métrica de un espacio plano se transforma de la siguiente manera,

$$\eta_{\mu\nu}\rightarrow g'_{\mu\nu}=\Lambda^2(x)\eta_{\mu\nu}.$$

Una especial conformación de la transformación (SCF) toma la siguiente forma:

$$x'^\mu=\frac{x^\mu-b^\mu x^2}{1-2b\cdot x+b^2 x^2}\tag{4.15d} $$

Aquí, el vector $b^\mu$ parametrizes SCF, y $x^2$ $b\cdot x$ son definidos usando $\eta_{\mu\nu}$. Resulta que $\Lambda(x)$ es el denominador.

OK. Según Di Francesco la Teoría conforme de campos, una relación que se da (Eq.(4.22)):

$$|x'_i-x'_j|=\frac{|x_i-x_j|}{\sqrt{\Lambda(x_i)\Lambda(x_j)}}. \tag{4.22}$$

Aquí, $x_i,x_j$ representa colectivamente las coordenadas de dos puntos arbitrarios en el original sistema de coordenadas. Es decir, $x_i=(x_i^1, x_i^2, ...)$. Y $x'_i,x'_j$ son las coordenadas relacionadas con $x_i,x_j$ a través de la SCF. ${|x_i-x_j|}$ es al parecer la distancia.

Los autores también llamada del lado izquierdo de la ecuación anterior la distancia, demasiado! Pero la transformación de los métrica $g'_{\mu\nu}$ ya no es plana. De manera que la distancia entre cualquier par de finitely separados puntos no está bien definida, a menos que una ruta de un punto a otro es especificado. Entonces, ¿cómo entender esta distancia (LHS)?

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Answer 1

Comentarios para el post (v2):

1. Ref. 1 es considerando el $d$-dimensiones reales espacio Euclidiano $(\mathbb{R}^d,|\cdot|^2)$ con la norma estándar $$|x|^2~:=~\sum_{\mu=1}^d (x^{\mu})^2~=~\sum_{\mu,\nu=1}^d x^{\mu}\eta_{\mu\nu}x^{\nu}, \qquad \eta_{\mu\nu} ~=~{\rm diag}(1,\ldots, 1),\tag{A}$$ y el interior del producto $$\langle x ,y\rangle~:=~\sum_{\mu,\nu=1}^d x^{\mu}\eta_{\mu\nu}y^{\nu} .\tag{B}$$

2. Insistimos en que la métrica es fijo y el mismo, inducida a partir de la norma estándar (Una). (Sin embargo, como siempre, toma diferentes formas explícitas en diferentes sistemas de coordenadas.)

3. A partir de la SCT (4.15 d), se sigue que $$ |x^{\prime}|^2~=~\frac{|x|^2}{\Lambda(x)^2}. \tag{C} $$ Junto con una similar de cálculo del producto interior $\langle x^{\prime} ,y^{\prime}\rangle$, es posible derivar eq. (4.22): $$ |x^{\prime}-y^{\prime}|^2~=~\frac{|x-y|^2}{\Lambda(x)\Lambda(y)}. \tag{4.22} $$

4. De eq. (4.22) se deduce directamente que la SCT (4.15 d) es un mapa de conformación

$$ ds^{\prime 2}~=~\frac{ds^2}{\Lambda(x)^2}. \tag{D}$$

Referencias:

1. P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Senechal, CFT, 1997.