Aquí es mi candidato para la más elemental prueba de que $\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n $ existe. Yo estaría interesado en ver a los demás.
$***$ Añadido después de algunos comentarios: Puedo demostrar aquí por muy elemental significa que el límite existe. Llamar al límite "$e$" de los nombres. $***$
Sólo se necesita que la desigualdad de Bernoulli (BI) en el formulario $(1+x)^n \ge 1+nx$ para $x > -1$ y $n$ un entero positivo, con la igualdad sólo si $x = 0$ o $n = 1$. Esto es fácilmente demostrado por inducción: Es cierto para $n=1$, y $(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \ge (1+x)(1+nx) = 1+(n+1)x+nx^2 \ge 1+(n+1)x $. (Si $-1 < x < 0$, si $1+nx \ge 0$, la anterior prueba, y si $1+nx < 0$, $1+mx < 0$ todos los $m \ge n$ así que, sin duda $(1+x)^m > 1+mx$.)
Esta prueba apareció originalmente en N. S Mendelsohn, Una aplicación de un famoso desigualdad, Amer. De matemáticas. Mensual 58 (1951), 563 y utiliza el aritmética-media geométrica de la desigualdad (AGMI) en el formulario $\big(\sum_{i=1}^n v_i/n\big)^n \ge \prod_{i=1}^n v_i$ (todos los $v_i$ positivo) con igualdad si y sólo si todas las $v_i$ son iguales.
Deje $a_n = (1+1/n)^n$$b_n = (1+1/n)^{n+1}$. Vamos a probar que $a_n$ es un aumento de la secuencia y $b_n$, una disminución de la secuencia. Desde $a_n < b_n$, esto implica, para cualquier enteros positivos $n$ $m$ $m < n$ que $a_m < a_n < b_n < b_m$.
Para $a_n$, considere la posibilidad de n valores de $1+1/n$ $1$ valor de $1$. Desde su suma es $n+2$ y su producto es $(1+1/n)^n$, por los AGMI, $((n+2)/(n+1))^{n+1} > (1+1/n)^n$, o $(1+1/(n+1))^{n+1} > (1+1/n)^n$, o $a_{n+1} > a_n$. Para $b_n$, considere la posibilidad de $n$ valores de $1-1/n$ $1$ valor de $1$. Desde su suma es $n$ y su producto es $(1-1/n)^n$, por los AGMI, $(n/(n+1))^{n+1} > (1-1/n)^n$ o $(1+1/n)^{n+1} < (1+1/(n-1))^n$, o $b_n > b_{n+1}$.
Desde $b_n-a_n = (1+1/n)^{n+1} - (1+1/n)^n = (1+1/n)^n(1/n) =a_n/n $ y cada una de las $a_n$ es menos que cualquier $b_n$ y $b_3 = (1+1/3)^4 = 256/81 < 4$, $b_n-a_n < 4/n$, por lo $b_n$ $a_n$ converge a un límite común.
Estas pruebas no parecen ser muy elemental, ya que con el uso de los AGMI. Sin embargo, se utiliza una forma especial de los AGMI, donde todos pero uno de los valores son los mismos, y esto se muestra implica BI, y así ser verdaderamente elemental.
Supongamos que tenemos $n-1$ valores de $u$ $1$ valor de $v$ $u$ $v$ positivo. Los AGMI para estos valores es $(((n-1)u+v)/n)^n \ge u^{n-1}v$ con igualdad si y sólo si $u = v$. Ahora vamos a demostrar que esto es implícita de BI: $(((n-1)u+v)/n)^n \ge u^{n-1}v$ es el mismo $(u+(v-u)/n)^n \ge u^n(v/u)$. Dividiendo por $u^n$, esto es equivalente a $(1+(v/u-1)/n)^n \ge v/u$. Por BI, desde $(v/u-1)/n > -1/n > -1$, $(1+(v/u-1)/n)^n \ge 1+n((v/u-1)/n) = v/u$ con la igualdad sólo si $n=1$ o $v/u-1 = 0$. Así BI implica esta versión de los AGMI.
