Considere el siguiente complejo (completa intersección) de la variedad, $$ f_1: x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4x_4x_5,$$ $$ f_2: x_4^4 + x_5^4 = 2x_0x_1x_2x_3,$$ en $\mathbb{P}^5$. Este es el primer ejemplo en el Capítulo 5 de Christian Meyer Modular de Calabi-Yau Threefolds, y en el cómputo de su característica de Euler tiene las siguientes dos líneas, $$ \chi(X) = -176 + 32 + 12\cdot 9 = -36,$$ y dejando $\tilde{X}$ ser un pequeño resolución de $X$, $$ \chi(\tilde{X}) = -36 + 32 + 12(4-1) = 32.$$
Este es mi primer paso en la resolución de singularidades, aunque creo que he sido capaz de explicar todo, excepto la $(4-1)$ en el final, y no estoy del todo seguro de cómo que viene a jugar.
Para empezar, uno tiene que $X$ sin sus singularidades tiene la característica de Euler $-176$ por un par adjunctions. Entonces uno puede encontrar las singularidades con bastante facilidad, y tenemos 32 nodos (órbita de $(1:1:1:1:1:1)$ bajo las simetrías de la curva) y 12 tipo de $(2,2,4,4)$ singularidades (órbita de $(1:i:0:0:0:0)$ bajo las mismas simetrías). Dado un nodo es un tipo de $(2,2,2,2)$ singularidad, es fácil ver la Milnor los números de los nodos 1 y para las mayores singularidades, la Milnor números son 9. Esto explica la primera ecuación por completo. Ahora tomando un pequeño resolución de $X$ en cada uno de los nodos, simplemente agrega uno a la característica de Euler, para cada nodo, como un $\mathbb{P}^1$ agrega dos, y eliminar el nodo resta uno.
Ahora nos tomamos un pequeño resolución de cada una de las $(2,2,4,4)$ singularidad, así como los de antes, el número de Milnor de cada singularidad es el 9, y se le añade una excepcional $\mathbb{P}^1$ en lugar de cada nodo, así que... esto da $12(2-9) = -84...$ de un cambio en la característica de Euler?
No veo cómo conseguir $12(4-1)$.. Porque de los 4 pensé que tal vez podríamos pensar acerca de cada uno de los pequeños de la resolución de un golpe, seguido por un golpe hacia abajo, ya que cada golpe agrega un $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ que es de 4 dimensiones, pero no he encontrado ninguna manera de obtener sólo las $(4-1)$.
Supongo que sólo estoy fudging algo tonto, así que espero que alguien puede remediar la confusión. Yo también sería feliz si alguien podría recomendar alguna buena referencia para el material relacionado. Meyer libro es muy bonito! Sin embargo el $\sim$ 1.5 página el tratamiento de la resolución de singularidades me da la impresión de que debía de haber visto antes. Gracias!
