Conexión entre $\mathbb{Q}_p[G]$y $\mathbb{Z}_p[G]$

Question

En este post fue el comentario, que es tener $\mathbb{Q}_p[G]$ módulos, es posible construir módulos de $\mathbb{Z}_p[G]$. ¿Cómo es posible averiguar cuando hay un bijection entre % simple $\mathbb{Q}_p[G]$módulos e indescomponible $\mathbb{Z}_p[G]$? (Tal vez sin cálculo de los personajes)

Answer 1

Hay casi nunca será un bijection entre la simple $\mathbb Q_p[G]$-módulos y indecomposable $\mathbb Z_p[G]$-módulos.

Para una cosa, hay sólo un número finito de clases de isomorfismo de los primeros, mientras que, a menos que $G$ tiene un cíclica $p$-subgrupo de Sylow, hay infinitamente muchas clases de isomorfismo de este último.

(Un punto básico es que el $M$ ser un indecomposable $\mathbb Z_p[G]$-módulo de no implica que $M\otimes_{\mathbb Z_p} \mathbb Q_p$ es simple a más de $\mathbb Q_p[G]$.)

Incluso si restringimos la atención a indecomposable $\mathbb Z_p[G]$-módulos de $M$ para que $V:= M\otimes_{\mathbb Z_p} \mathbb Q_p$ es simple (es decir, $G$- invariante $\mathbb Z_p$-celosías en irred. reps. más de $\mathbb Q_p$), no habrá un bijection en general.

Como señalé en mi comentario sobre la cuestión vinculada en su post, $M$ se determina hasta el isomorfismo por $V$ sólo en el caso especial cuando $M/pM$ es irred. como un $G$-rep n'.