verde ' segunda aplicación de identidad s

Question

Que necesito para usar identidad segundo de verde con el fin de demostrar la siguiente igualdad:

$$ \int_{\mathbb{R}^2} \ln (\sqrt{x^2+y^2})\Delta f = -2\pi f(0)$$

donde $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ es una función lisa con suuport compacto. (Y $\Delta$ denota el Operador laplaciano)

Así, aplicando la identidad tienen

$$\int_{\mathbb{R}^2} \ln (\sqrt{x^2+y^2}) \Delta f + f \Delta \ln (\sqrt{x^2+y^2}) dxdy = \int_{\partial \mathbb{R}^2} \ln (\sqrt{x^2+y^2}) (grad(f) \cdot n) -f( grad(\ln (\sqrt{x^2+y^2}) )\cdot n) dl$$

es fácil demostrar que $\Delta \ln (\sqrt{x^2+y^2}) = 0$. Sin embargo no sé cómo involucrar el vector normal $n$ y la asunción de soporte compacto

Answer 1

SUGERENCIA 1:

El Laplcian de $\log r$ no está definido en $r=0$ y por lo tanto es necesario excluir el origen en la aplicación de Verde de la Identidad.

SUGERENCIA 2:

$$\oint_{\partial R_{\epsilon}}\frac{\partial \log r}{\partial n}d\ell=2\pi$$

donde $R_{\epsilon}$ es una esfera de radio $\epsilon$, centrada en el origen.

ALERTA DE SPOILER: DESPLAZA A TRAVÉS DE LA SOMBRA DE ALEAS PARA REVELAR LA SOLUCIÓN

Vamos a aplicar el Verde de la Identidad a la región de $R>r\ge\epsilon>0$. Entonces, tenemos\begin{align}\int_{R>r\ge \epsilon} \log(r) \nabla^2f(\vec r)\,dS&=\int_{R>r\ge \epsilon} f(\vec r) \nabla^2\log(r) \,dS\\\\&-\int_0^{2\pi}\left.\left(\log(r)\frac{\partial f(\vec r)}{\partial r}-f(\vec r)\frac{\partial \log(r)}{\partial r}\right)\right|_{r=\epsilon}\epsilon\,d\phi\\\\&+\int_0^{2\pi}\left.\left(\log(r)\frac{\partial f(\vec r)}{\partial r}-f(\vec r)\frac{\partial \log(r)}{\partial r}\right)\right|_{r=R}R\,d\phi\end{align}
En primer lugar, tomamos nota de que $\nabla^2 \log(r)=0$ en la región de $\epsilon\le r\le R$. Siguiente, suponiendo que $f$ tiene soporte compacto, entonces como $R\to \infty$, entonces la integral sobre la frontera en $r=R$ se desvanece. Finalmente, como $\epsilon \to 0$, la integración en la frontera en $r=\epsilon$ hace $2\pi f(0)$. Poner todos juntos revela que $$\int_{\mathscr{R}^2} \log(r) \nabla^2f(\vec r)\,dS=2\pi f(0)$$que iba a ser mostrado.