Teorema 3.54 (sobre ciertos reordenamientos de una serie condicionalmente convergente) en Baby Rudin: Un par de preguntas sobre la prueba

Question

Aquí está la declaración de Teorema 3.54 en Principios del análisis matemático por Walter Rudin, 3ª edición:

Deje que $ \sum a_n$ ser una serie de números reales que convergen, pero no de forma absoluta. Supongamos que $$- \infty \leq \alpha \leq \beta \leq + \infty. $$ Entonces existe un reordenamiento $ \sum a_n^ \prime $ con sumas parciales $s_n^ \prime $ de tal manera que $$ \lim_ {n \to\infty } \inf s_n^ \prime = \alpha , \lim_ {n \to\infty } \sup s_n^ \prime = \beta. $$

Ahora tengo un par de preguntas sobre la prueba de Rudin:

Primero, cuando ha tomado secuencias de valor real $\{ \alpha_n\ }$ , $\{ \beta_n\ }$ de tal manera que $ \alpha_n \to \alpha $ , $ \beta_n \to \beta $ . Pero también ha exigido que $ \alpha_n < \beta_n $ y $ \beta_1 > 0$ . Ahora bien, ¿alguna de estas dos desigualdades es necesaria para que la prueba proceda, especialmente $ \beta_1 > 0$ ?

En segundo lugar, en la última frase Rudin dice: "Finalmente, está claro que no hay un número menor que $ \alpha $ o mayor que $ \beta $ puede ser un límite posterior de las sumas parciales de (25)". ¿Cómo puede ser cierta esta afirmación? Me refiero a cómo verificarlo explícitamente.

Para aquellos que no tienen una copia de Rudin a mano, puedo editar esta pregunta para reproducir la prueba de Rudin en su totalidad.

Answer 1

Vale la última afirmación es fácil de probar "Por último, está claro que ningún número menor que α o mayor que β puede ser un límite posterior de las sumas parciales de (25)"

Dejemos, si es posible, que a<α sea el límite posterior de las sumas parciales de (25). Entonces implicaría que las sumas parciales secuenciales de (25) tienen una subsecuente que converge a a, es decir, después de una cierta etapa, esta subsecuente (de sumas parciales de (25)) estaría en epsilon nbd de a para cualquier qpsilon dado. Lo que será una contradicción porque esta subsecuencia tiene en última instancia términos de secuencia de suma parcial que convergen en α (por construcción, de lo contrario no convergerá en a(¿por qué?)) y ahora tomando epsilon como mod(α - a) y utilizando el hecho de que esta subsecuencia tiene que estar en epsilon nbd de α, obtenemos la contradicción de que a es un punto subsecuente.

Perdón por escribir así. No sé mucho de programación.

Ahora estoy seguro de que también entiendes por qué necesitamos αn<βn porque alternativamente añadimos términos positivos y luego negativos (lo cual juega un papel importante en el argumento dado por mí). y como αn viene después de añadir términos negativos a los términos requeridos de tal manera que la suma es mayor que βn. Pero sobre β1 > 0. No soy capaz de averiguarlo. Lo único es que si β1 > 0 en primer lugar tendremos on(nada más que pueda averiguar)