EDIT: Podemos suponer que la Picard número es al menos dos, de lo contrario, el cono es simplemente un rayo generada por una curva. En particular, todos los efectivos de la curva es extremal.
Voy a suponer también que "la curva" significa "la eficacia de la curva".
(Esta edición fue motivada por Damián comentario de que ahora es (tristemente) eliminados. Fue una contribución útil.)
Una curva sobre una superficie es simultáneamente una curva y un divisor y suponiendo que la superficie es lisa o, al menos, $\mathbb Q$- factorial, entonces la curva, como un divisor, induce un funcional lineal en $1$-ciclos. Esto funciona mejor si la superficie es adecuada, así que vamos a suponer que.
Por lo tanto, si $C$ es una curva, entonces la correspondiente función lineal en el espacio donde se $NE(S)$ vida es mejor representado por el hyperplane en el que se desvanece y recordar de qué lado es positivo y cual es negativo.
Si $C$ es reducible, entonces puede tener un impacto negativo auto-intersección, pero no es extremal. Por ejemplo, volar dos puntos separados sobre una superficie lisa y tomar la suma de los divisores excepcionales. Mi conjetura es que usted significó irreductible, así que vamos a suponer que.
Ahora tenemos $3$ de los casos:
1) $C^2>0$. En este caso, $C$ está en el interior del cono y no se puede extremal, aún no puede ser en el límite (Uso de Riemann-Roch para probar esto).
2) $C^2=0$. Desde $C$ es irreductible, se deduce que es nef y, por tanto, un límite de amplias clases, por lo que es efectivo, pero como Damián señaló ya he asumido que. (Se deja al lector para reformular esta si $C$ es asumido nef en lugar de efectivo). En este caso, el hyperplane correspondiente a $C$ como un funcional lineal es un apoyo hyperplane del cono, intersección, al menos en el de rayos generados por $C$. Por lo $C$ es, sin duda, en el límite, pero puede o no puede ser extremal en función de la superficie. Por ejemplo, cualquier curva de auto-intersección $0$ en un abelian superficie es extremal, pero por ejemplo un miembro de un fibration que también ha reducible fibras no es extremal a pesar de ser irreductible. Por último, pensar en un 3d de la superficie con una elíptica fibration que tiene algo de $(-2)$-curvas contenidas en algunas de las fibras.
3) $C^2<0$. Si $C$ es eficaz, a continuación, $C\cdot D>0$ para cualquier irreductible de la curva de $D\neq C$. Esto significa que $C$ y todos los demás irreductible de las curvas de mentira en los diferentes lados de la hyperplane correspondiente a $C$ como un funcional lineal, de modo que el cono convexo que generan debe tener $C$ generación de un rayo extremal.
Observar que no usamos el Teorema de Cono. De hecho uno tiene un diferente "cono teorema" de esta manera:
Teorema de
Deje $S$ ser una suave superficie proyectiva $H$ a un arbitrario amplio divisor a $S$ y dejar
$$
Q^+=\{\sigma\en N_1(S) \vert \sigma^2 >0, H\cdot\sigma \geq 0 \}
$$
ser el "componente positivo" del interior de la quadric cono definido por la intersección de emparejamiento. Entonces
$$
\overline{NE}(S) = \overline{Q^+} + \sum_{C^2<0} \mathbb R_+[C]
$$
También hay uno para $K3$'S, usando la notación:
Teorema de
Deje $S$ ser un suave algebraicas 3d de la superficie y se supone que su Picard número es al menos $3$. (Si la Picard número se encuentra en la mayoría de los $2$, entonces no hay demasiadas opciones para un cono).
Entonces uno de los siguientes sostiene:
(i)
$$
\overline{NE}(S) = \overline{Q^+}, o
$$
(ii) $$
\overline{NE}(S) = \overline{\sum_{C\simeq \mathbb P^1, C^2<0} \mathbb R_+[C]}.
$$
Los dos casos que se distinguen por el hecho de si existe una curva en $S$ negativo auto-intersección. Si la Picard número es al menos $12$, entonces sólo (ii) es posible.
Para pruebas y más detalles, consulte este artículo.
