Recordemos que un grupo es asociativa, unital monoid $G$ de manera tal que el mapa de $(p_1,m) : G \times G \to G\times G$ es un isomorfismo de grupos. Aquí $p_1$ es de la primera proyección y $m$ es la multiplicación, por lo que el mapa es $(g_1,g_2) \mapsto (g_1,g_1g_2)$.
Mi pregunta es básico, sobre la definición de "2-grupo".
Recordemos que una categoría monoidal es una categoría $\mathcal G$ junto con un functors $m : \mathcal G \times \mathcal G \to \mathcal G$ $e: 1 \to \mathcal G$ donde $1$ es la categoría con un objeto y sólo la identidad de morfismos, de tal manera que ciertos diagramas conmutan hasta el isomorfismo natural y los naturales isomorphisms satisfacer algunos de los axiomas de su propia (la natural isomorphisms son parte de los datos de la categoría monoidal).
A continuación, un 2-grupo es una categoría monoidal $\mathcal G$ de manera tal que el functor $(p_1,m): \mathcal G \times \mathcal G \to \mathcal G \times \mathcal G$ es una equivalencia de categorías. I. e. existe un functor $b: \mathcal G \times \mathcal G \to \mathcal G \times \mathcal G$ tal que $b\circ (p_1,m)$ $(p_1,m) \circ b$ son naturalmente isomorfos a la identidad. Tenga en cuenta que $b$ se determina sólo hasta el isomorfismo natural de functors.
Pregunta: ¿puedo necesariamente encontrar un functor $b$ de la forma $b = (p_1,d)$ donde $d : \mathcal G \times \mathcal G \to \mathcal G $ es algún functor (llamado $d$ "división")? Si es así, puedo necesariamente encontrará $d = m\circ(i \times \text{id})$ donde $i: \mathcal G \to \mathcal G$ es algún functor (llamado $i$ "inversa")?
En cualquier caso, la lógica de la pregunta es para pedir a todos estos en el nivel de 3-grupos, etc.
