Mostrando asociatividad de (x * y) = (xy)/(x+y+1)

Question

Con el fin de mostrar que algo es asociativa uno debe demostrar que $(x*y)*z$ = $x*(y*z)$. Quiero mostrar que la $x * y = \frac{xy}{x+y+1}$ es asociativa.

Esto es para el auto-estudio (estoy aprendiendo álgebra durante el verano) y la necesidad de ayudar a terminar la prueba.

A continuación son de mi (espero que no sea incorrecta) pasos,

1) $x*(y*z)$ = $x * \left(\frac{yz}{y+z+1}\right)$

La aplicación de la operación binaria * puedo obtener

2) $\frac{x\left(\frac{yz}{y+z+1}\right)}{x+\frac{yz}{y+z+1}+ 1}$

Aquí es donde mi primera pregunta es:

Pregunta 1: ¿me múltiple x (en el numerador) utilizando la definición de *, o tengo que multiplicar x el "normal"? Si multiplico x el "normal", entonces ¿por qué no utilizar la * definición de forma recursiva para cada aplicación de *?

Suponiendo que tengo que hacer la multiplicación de los "normales" que manera puedo obtener,

3) $\frac{\left(\frac{xyz}{y+z+1}\right)}{x+\frac{yz}{y+z+1}+ 1}$

Sé que para sumar fracciones deben tener el mismo denominador. Esto significa que el denominador para cada término debe ser y+z+1.

Esto me lleva a la

4) $\frac{\left(\frac{xyz}{y+z+1}\right)}{{y+z+1}(x+\frac{yz}{y+z+1}+ 1)}$

Aquí es donde puedo ser más incierto...

Pregunta 2: de Nuevo, ¿puedo usar el * definición de multiplicación o puedo utilizar la "normal" de la definición de la multiplicación para multiplicar el y+z+1 en todo y por qué? De nuevo, suponiendo que yo uso "normal" de la multiplicación puedo obtener

5) $\frac{\left(\frac{xyz}{y+z+1}\right)}{\frac{xy+xz+x+yz+y+z+1)}{y+z+1}}$

A partir de aquí me voy a chupar y no está seguro de cómo reducir este.

Pregunta 3: ¿Cómo debo proceder en el paso 5) a la conclusión? Creo que una vez que yo entiendo de esto voy a ser capaz de mostrar $(x*y)*z$,me gustaría ver el resto de la prueba desde donde estoy atascado.

Muchas gracias de antemano por la ayuda.

Descargo de responsabilidad: Una pregunta similar se ha preguntado y respondido en este hilo, pero tengo preguntas diferentes que las que están planteadas.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario:

@heropup: Su fórmula para $x*y$ muestra que el $*$ operación es la que se obtiene por el transporte de la estructura de la usual de la multiplicación. Efectivamente, supongamos que $$ f\colon \mathbf R\setminus\{0\}\rightarrow \mathbf R\setminus\{1\} $$ ser el mapa definido por $$ f(x)=1+\frac1x. $$ A continuación, $f$ es un bijection y su inversa mapa está dada por $$ f^{-1}(y)=\frac1{y-1} $$ para todos los $y\in\mathbf R\setminus\{1\}$. Tenemos, entonces, de hecho según su fórmula, $$ x*y= \frac{1}{(1+\frac1x)(1+\frac1y)-1}=f^{-1}(f(x)\cdot f(y)), $$ donde $\cdot$ es habitual en la multiplicación en $\mathbf R\setminus\{1\}$. Esto es lo que se llama una operación obtenida por el transporte de la estructura: si $f\colon E\rightarrow F$ es un bijection entre dos conjuntos, a y $\cdot$ es una operación binaria en $F$, entonces uno tiene un inducida por la operación binaria $*$ $E$ definido por $$ x*y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y)) $$ para todos los $x,y\in E$. Es una especie de ping-pong principio, un mapa de los elementos $x$ $y$ $E$ $F$ donde se puede multiplicar, y luego asignar el resultado de la espalda. La operación $*$ es la única operación en $E$ para los que $$ f(x*y)=f(x)\cdot f(y) $$ para todos los $x,y\in E$. La operación binaria $*$ obtenido por el transporte de la estructura de todas las propiedades que la operación binaria $\cdot$ tiene: si $\cdot$ es asociativa, a continuación, $*$ es así, si $\cdot$ tiene un elemento neutro, a continuación, $*$ tiene uno, y en ese caso, si la recíproca existen para $\cdot$, entonces la recíproca que existe para $*$ si $\cdot$ absorción de un elemento, a continuación, $*$ tiene uno, si $\cdot$ es conmutativa, a continuación, $*$ es así, y así sucesivamente.

Ahora, volviendo a tu ejemplo concreto y específico bijection $f$, la costumbre de multiplicación de $\cdot$ $\mathbf R\setminus\{1\}$ no es una operación en $\mathbf R\setminus\{1\}$. De hecho, el producto de dos números reales diferentes de $1$ puede muy bien ser igual a $1$, que no es un elemento del conjunto a $\mathbf R\setminus\{1\}$. Por lo tanto, la fórmula anterior se sostiene solamente por $x,y\in \mathbf R\setminus\{0\}$ que $f(x)\cdot f(y)\neq1$. Eso es probablemente por qué de su operación $*$ se ha restringido a los números reales positivos, que se corresponde exactamente con el subconjunto $(1,+\infty)$ $\mathbf R\setminus\{1\}$ donde $\cdot$ es una operación binaria.

En cualquier caso, está claro ahora que el $*$ es asociativa desde $\cdot$ es así, pero mucho más se puede derivados de ahora: por ejemplo, desde que el producto se $\cdot$ es un grupo de la ley de $\mathbf R\setminus\{0\}$, sería natural considerar a $f$ como un mapa $$ f\colon (\mathbf R\cup\{\infty\})\setminus\{0\}\rightarrow \mathbf R\setminus\{0\} $$ todavía definido por $f(x)=1+\frac1x$$x\in\mathbf R\setminus\{0\}$, y con $f(\infty)=1$. A continuación, $f$ es de nuevo un bijection. Desde $\cdot$ es una estructura de grupo conmutativo en el codominio de $f$, uno deduce que $*$ define una estructura de grupo en $(\mathbf R\cup\{\infty\})\setminus\{0\}$! El elemento neutro es el elemento $\infty$. El inverso $x^{*-1}$ $x$ con respecto al $*$ es $$ x^{*-1}=f^{-1}(f(x)^{\cdot-1})= \frac1{\frac1{1+\frac1x}-1}, $$ donde $x^{\cdot-1}$ es el habitual inverso $\frac1x$.

La moraleja es que el transporte de la estructura es una máquina maravillosa para crear los ejercicios. Elija su favorito grupo $G$, tomar cualquier bijection $f\colon E\rightarrow G$, y considerar la operación binaria en $E$ obtenido por el transporte de la estructura. Este tipo de operación puede ser muy raras, pero todavía se puede estar seguro de que se define una estructura de grupo en su conjunto $E$!

Answer 2

La operación es $ x*y = \dfrac{xy}{x+y+1}$, no $\dfrac{x*y}{x+y+1}$.

Así que $$(x*y) * z = \dfrac{\dfrac{xy}{x+y+1} z} {\dfrac {xy} {x + y + 1} + z + 1} = \dfrac{xyz}{xy + xz + yz + x + y + z + 1} $ y $$ x*(yz) = \dfrac{x\dfrac{yz}{y+z+1}}{x+\dfrac{yz}{y+z+1}+1} = \dfrac{xyz}{xy + xz + yz + x + y + z + 1}$ $

Answer 3

Si la expresión contiene un $*$ en el numerador, se debe utilizar la definición de $*$, no $\cdot$. Sin embargo, aplicando la definición pf $*$ debe yget actuall que deshacerse (uno) $*$ cada vez.

Así que tienes que demostrar que $$x*(y*z)=x*\frac{yz}{y+z+1}=\frac{x\cdot \frac{yz}{y+z+1}}{x+\frac{yz}{y+z+1}+1} $ $ es igual a $$(x*y)*z=\frac{xy}{x+y+1}*z=\frac{\frac{xy}{x+y+1}\cdot z}{\frac{xy}{x+y+1}+z+1} $ $ para simplificar ambas expresiones, expanda la fracción con $y+z+1$ (o $x+y+1$)

Answer 4

Para responder a tu primera pregunta, podríamos escribir la operación de $*$ usando la notación que puede ser un poco más familiar: $$x * y = \frac{xy}{x+y+1} = f(x,y).$$ The numerator represents the usual multiplication of $x $ and $y $, not the operation $ * $. So $$x * (y * z) = f(x,f(y,z)),$$ for example, and $$(x * y) * z = f(f(x,y),z).$$ That said, this notation is a little more verbose, and you can see it's not necessary to write so many $f$ s. Así que nos pegaremos a la notación original.

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Ahora, creo que la mejor manera de proceder es observar $$x * y = \frac{xy}{x+y+1} = \frac{xy}{-xy + xy + x + y + 1} = \frac{xy}{(x+1)(y+1)-xy} = \frac{1}{(1+1/x)(1+1/y) - 1}.$$ This suggests to us to let $a = 1 + 1/x$, $b = 1 + 1/y$, $c = 1 + 1/z$, so that $$x * (y * z) = x * \frac{1}{bc-1} = \frac{1}{a\left(1 + \frac{1}{\frac{1}{bc - 1}}\right) - 1} = \frac{1}{abc-1}.$$ Now the symmetry is evident, and it is straightforward to compute $$(x * y) * z = \frac{1}{ab-1} * z = \frac{1}{abc-1}.$$