Que $h(x)=x^5+3x+6$ es uno a uno

Question

Cómo demuestro que $$h(x)=x^5+3x+6$$ is one to one? I set $$f(a)=f(b)$$ and try to isolate for $ $ and $b $ but I get stuck because I have a term of "$ $" that is degree $5 $ and a term of "$ a $" that is degree $1$ así que no puedo simplificarlo.

Answer 1

Hint: $h'(x) = 5x^4 + 3 > 0$

Answer 2

Obviamente es aumento de $h$ $h-6$ de la iff está aumentando. Que $$g(x)=h(x)-6=x(x^4+3).$ $ $g$ es impar, es suficiente para demostrar que $g$ está aumentando en el $\Bbb R^+$.

Es fácil ver que el producto de aumento de funciones positivas va en aumento: $$x<y\implies f_1(x)f_2(x)<f_1(x)f_2(y)<f_1(y)f_2(y).$ $ $$x\mapsto x\text{ is positive and increasing in $\Bbb finalmente, R ^ + $},$ $ $$x\mapsto x^4\text{ is positive and increasing in $\Bbb R ^ + $},$ $ $$x\mapsto x^4+3\text{ is positive and increasing in $\Bbb R ^ + $},$ $ $$x\mapsto x(x^4+3)\text{ is positive and increasing in $\Bbb R ^ + % $ $}.$

Answer 3

Ya que pediste (en un Comentario en respuesta del integrador) una prueba sin usar la derivada: tenemos que demostrar que $a\lt b\implies h(a)\lt h(b)$. Desde $a\lt b\implies 3a+6\lt3b+6$, será suficiente con mostrar que $a\lt b\implies a^5\lt b^5$. Podemos hacerlo por casos.

I if $0\le a\lt b$ y $a^5\le a^4b\le a^3b^2\le a^2b^3\le ab^4\lt b^5$; por otra parte, $b^5-a^5=(b-a)(b^4+ab^3+a^2b^2+a^3b+a^4)\gt0$.

II. Si $a\lt0\lt b$ y $a^5\lt0\lt b^5$.

III. If $a\lt b\lt0$ y $0\lt-b\lt-a$, $-b^5=(-b)^5\lt(-a)^5=-a^5$ en caso y así $a^5\lt b^5$.

Answer 4

Hint: $$f(a)=f(b)$$ $$f(a)-f(b)=0$$

$$a^5-b^5+3a-3b=0$$ $$(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4+3)=0$$

Answer 5

NO es una sugerencia:

Se puede demostrar que

$h(x) = x^5 + 3x + 6 \tag{1}$

es uno-a-uno, sin la introducción de los derivados señalando que es estrictamente monótona creciente de la función. Es decir, si $x_1 > x_2$, luego

$h(x_1) = x_1^5 + 3x_1 + 6 > x_2^5 + 3x_2 + 6 = h(x_2). \tag{2}$

(2) sostiene que, puesto que tanto $x^5$ $3x$ de las mismas son estrictamente monótona creciente: para $x_1 > x_2$, tenemos

$x_1^5 > x_2^5 \tag{3}$

y

$3x_1 > 3x_2. \tag{4}$

La adición de (3) y (4) los rendimientos

$x_1^5 + 3x_1 > x_2^5 + 3x_2, \tag{5}$

de donde sigue (2) posta. Es ahora evidente que la $h(x)$ es uno-a-uno, ya que si $x_1 \ne x_2$, $x_1 > x_2$ o viceversa, etc. etc. etc. Ahí está, no cálculo!!!

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre,

Fiat Lux!!!