¿Cómo utilizar el multiplicador de Lagrange en esta pregunta?

Question

Tengo que encontrar el máximo absoluto y el mínimo de los valores de $f(x,y)$ = $4x^{2} + 9y^{2} -8x - 12y + 4 $

más de rectángulo en el primer cuadrante limitada por las líneas de $x=2 , y=3$ y los ejes de coordenadas

He comprobado los puntos del interior de máximos y mínimos .Pero para los puntos en la frontera necesito comprobar ahora .También puedo sustituir los valores en la función original de dos variables y la reducen a una sola variable y comprobar extremo en el límite . Pero estoy interesado en usar multiplicadores de lagrange en este caso . Alguien me puede ayudar con eso ? Gracias de antemano

Answer 1

Multiplicadores de Lagrange parece overkill.$$f(x, y) = 4x^2 + 9y^2 -8x - 12y + 4 = 4(x-1)^2+(3y-2)^2-4$$

Claramente es un mínimo global de $-4$ cuando $x = 1, y = \frac23$ que está dentro de la región factible. Además, como es convexo, el máximo tiene que ser en las esquinas del límite, así que sólo necesitamos comprobar $f(0, 0), f(2, 0), f(0, 3), f(2, 3)$ para encontrar el máximo en $f(0, 3)=49$.