operador lineal discontinuo de un espacio de Banach para un espacio vectorial normado

Question

¿Cómo puedo encontrar ese ejemplo de un discontinuado lineal operador desde un espacio de Banach a un normado espacio del vector tal que A tiene una gráfica cerrada?

Answer 1

Deje $D:=\{z\in\mathbb C, |z|<1\}$$E:=\{f\colon D\to\mathbb C, f\mbox{ holomorphic}\}=F$. Deje $||f||_E:=\sup_{|z|=2^{-1}}|f(z)|$ y $||f||_F:=\sup_{|z|=2^{-1}}|f'(z)|+|f(0)|$. $E$ es un espacio de Banach, y si ponemos $A\colon E\to F$ definido por $A(f)=f'$, $A$ ha cerrado gráfico. De hecho, vamos a $\{f_n\}\subset E$ tal que $f_n\to f$$E$$f_n'\to g$$F$. Desde $f_n''$ converge a $f''$ $\{z,|z|=2^{-1}\}$ $f''(z)=g'(z)$ todos los $z$ a que el módulo de $2^{-1}$, y por la conexión de $D$ $f''(z)=g'(z)$ para todos los $z\in D$, lo $f'(z)=g(z)+C$ para algunas constantes $C$. Desde $f_n'(0)$ converge a $f'(0)$ $g(0)$ obtenemos $f'(z)=g(z)$.

Pero $A$ no es continua, de hecho consideran a $f_n(z)=2^nz^n$. A continuación,$\lVert f_n\rVert_E=1$$f_n'(z)=n2^nz^{n-1}$, por lo que para $n\geq 2$: $\lVert A(f_n)\rVert =2n$.

Answer 2

Tomar el operador diferenciación del $D:C^1([0,1]) \to C[0,1]$ dado en $Df(x)=f'(x)$ donde $C^1([0,1])$ tiene la norma como un subespacio de $C([0,1])$ con la norma del supremum.