¿Pueden las sumas parciales de variables al azar independientes con ninguna normalización convergen en distribución a una constante?

Question

¿Si es nondegenerate para al menos un $\{X_n , n\ge 1 \}$ $X_n$ $n\ge1$ es una secuencia de variables al azar independientes, puede existir una finita constante c tal que $S_n = \sum_{j=1}^n X_j \stackrel{d}{\rightarrow}c$?

(Aquí nosotros no estamos dividiendo $S_n$ por cualquier secuencia de constantes de normalización.)

Estoy luchando para encontrar un ejemplo donde esto puede llevar a cabo. ¿Podría alguien por favor proporcione un ejemplo apropiado, o una prueba que no puede existir tan constante $c$?

Answer 1

La respuesta es negativa.

Tenga en cuenta que la convergencia en distribución a una constante implica la convergencia en probabilidad a que constante, por lo que es suficiente para demostrar que no se tiene la probabilidad a una constante. Tenga en cuenta que sin pérdida de generalidad, podemos suponer $c=0$ y $X_1$ es no degenerada. Set $Y=-\sum_{n=2}^\infty X_n$, donde el límite se toma en probabilidad.

Entonces la pregunta es (más o menos) equivalente a preguntar si $Y=X$, o si una secuencia de variables aleatorias puede convergen en probabilidad a un no-degenerada variable aleatoria independiente de cada uno de los sumandos.

Ahora, la convergencia en probabilidad implica que una larga converge casi seguramente, por la agrupación de las $X_i$ podemos suponer que la convergencia a $Y$ es una.s. Luego tenemos a $Y=X$.s. para dos variables aleatorias independientes $Y$ $X$ $X$ no constante, lo cual es imposible.