El grupo Galois de la extensión de campo siguientes

Question

Estoy tratando de encontrar el grupo de Galois de la extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\alpha)=K$ $\mathbb{Q}$ donde $\alpha$ es tal que $\alpha^2=(9-5\sqrt{3})(2-\sqrt{2})$.

Aquí está mi intento: Primero de todo quiero tratar de calcular el grado de la extensión. Es bien sabido que $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$, y luego, cuando añadimos $\alpha$ obtenemos una ecuación cuadrática de la extensión, por lo que tenemos que $[K:\mathbb{Q}]=4\cdot 2=8$.

Si $\sigma$ es un elemento de $G$ (el grupo de Galois), entonces tenemos que $\sigma(\sqrt{2})=\pm\sqrt{2}$$\sigma(\sqrt{3})=\pm\sqrt{3}$, pero no puedo ver realmente lo que la acción que $\sigma$$\alpha$. Mi sensación es que la respuesta va a ser $\sigma(\alpha)=\pm \alpha$ y, a continuación, nuestro grupo podría ser $C_2\times C_2\times C_2$, pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Gracias,

Answer 1

Deje $\sigma$ ser el automorphism de $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$ $\mathbb Q$ envío de $\sqrt 2$ $-\sqrt 2$y la fijación de $\sqrt 3$. Calcular $\sigma(\alpha^2)/\alpha^2$. Usted recibirá $(2+\sqrt 2)/(2-\sqrt 2)$. Esto es $3+2\sqrt 2=(\sqrt 2 + 1)^2$. Por lo $\sigma(\alpha^2)=\alpha^2(\sqrt 2 + 1)^2$. Si $\alpha$$\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$,$(\sigma(\alpha))=\pm (\sqrt 2+1)\alpha$$\sigma(\sigma(\alpha))=\alpha(1+\sqrt 2)(1-\sqrt 2)=-\alpha$, una contradicción como $\sigma$ orden $2$. Esto demuestra $\alpha$ tiene el grado $2$$\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$, como usted indica.

Extender $\sigma$ a un automorphism de la parte superior del campo. Esto es posible por una norma teorema. Vemos ahora que la $\sigma^4(\alpha)=\alpha$, lo $\sigma$ genera un subgrupo de orden $4$ en el grupo de Galois.

Deje $\tau$ ser el automorphism de $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$ $\mathbb Q$ envío de $\sqrt 3$ $-\sqrt 3$y la fijación de $\sqrt 2$. Usted puede hacer un cálculo similar con $\tau$. Usted encontrará que son tanto de orden $4$ y anti-commute. El único grupo de la orden de $8$ con tales elementos se los cuaterniones, como el único que no commuative grupos de orden $8$$Q$$D_8$, e $D_8$ no tiene dos anti-desplazamientos de los elementos de orden $4$.