¿Cuáles son las maneras de resolver ecuaciones trigonométricas de la forma $\sin(f(x)) = \cos(g(x))$?

Question

si tengo la siguiente ecuación trigonométrica:

$$\sin(10x) = \cos(2x)$$

Yo tome los siguientes pasos para solucionarlo:

• Reescribir $\cos(2x)$ $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right)$ o $\sin\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)$ causa $\sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + a\right) = \cos(a)$;
• Digamos que he escogido $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right)$, la ecuación se convierte en:

$$\sin(10x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right).$$

• Entonces, yo sé que:

$$\sin(f(x)) = \sin(g(x)) \Leftrightarrow f(x) = g(x) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \lor f(x) = (\pi - g(x)) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Esto significa que (por $f(x) = 10x$$g(x) = \frac{\pi}{2} + 2x$):

$$\sin(10x) = \cos(2x) \Leftrightarrow 10x = \frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \lor 10x = (\pi - (\frac{\pi}{2} + 2x)) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$

De problemas, puedo obtener los siguientes resultados:

$$x_{1} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{4}n,\,\,x_{2} = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi}{6}k,\,\,\,\,n,k \in \mathbb{Z}$$

Ahora, hay otros métodos para resolver este tipo de ecuaciones o podría este ser buenos?

Answer 1

Quiere transformar el seno coseno: \cos\left(\frac{\pi}{2}-10x\right)=\cos(2x) $$ $$ esto se divide en dos: \frac{\pi}{2}-10x=2x+2k\pi $$ $$ o \frac{\pi}{2}-10x=-2x+2k\pi $$ $$ el truco es que $\cos\alpha=\cos\beta$ si y sólo si $\alpha=\beta+2k\pi$ o $\alpha=-\beta+2k\pi$ (con entero $k$).

Answer 2

Lo contrario de lo que pides sería como sigue (aunque es casi lo mismo).

Tienes $$sin (f(x))-sin (\frac\pi2-g(x))=0$ $ desde la identidad

$$sin(a)-sin(b)=2sin\frac {a-b}{2}cos\frac{a+b}{2}$$

sigue $$2sin\frac{(f(x)+g(x)- \frac{\pi}{2})}{2}cos\frac{(f(x)-g(x)+\frac{\pi}{2})}{2}=0$$ hence $$f(x)+g(x)=2n\pi+\frac\pi2$$ and $% $ $f(x)-g(x)=n\pi-\frac\pi2$