Volumen de intersección entre un cono y un cilindro

Question

Encuentra el volumen sobre el plano x-y dentro del cono $z=2-(x^{2}+y^{2})^{1/2}$ y en el interior del cilindro $(x-1)^{2} + y^{2}=1$

Ahora bien, utilizando el cálculo esto es en realidad una integración bastante difícil utilizando una matriz Df los límites son bastante poco intuitivos para encontrar, una simple sustitución a la polar en realidad no hace ur cualquier vida más fácil. ( al final tienes que integrar $2-(1+r\cos(\theta)+r^{2})^{1/2}rdrd\theta$ en cuerdas cuadradas tienes $\int^{1} \int^{(1-(x-1)^{2})^{1/2}} (x^{2}+y^{2})^{1/2}dydx$ y aunque hay una fórmula en la mayoría de los libros de texto de calc para integrar esta ingración de nuevo en x será muy feo después de la sub ( el límite superior no es realmente correcto pero tiene algo así en cada integral se evalúa 0 a límite superior)

$x-1=r\cos(\theta)$ y $y=r\sin(\theta)$ fue el submarino que utilicé

curiosamente ¿alguien puede resolver esto sin calcular un límite analíticamente simplemente integrando hasta esa superficie en 1 paso? (sin trampas y dividiéndolo en 2 integrales, es decir, esto menos esto o esto más esto, los dobles están bien y me parece bien un truco de integración por partes), aparte de eso, cualquier truco matemático es bienvenido.

Editar Entiende la respuesta.

Answer 1

Uso de Maple con $$\int _{0}^{2}\!\int _{-\sqrt {1- \left( x-1 \right) ^{2}}}^{\sqrt {1- \left( x-1 \right) ^{2}}}\! \left(2-\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}\right) {dy}\,{dx} $$ parece que la respuesta es $2 \pi - 32/9$ , ciertamente no $2 \pi/3$ .

EDIT: En realidad, la forma fácil de hacerlo es utilizar coordenadas polares, observando que la ecuación del cilindro es $r = 2 \cos(\theta)$ para $-\pi/2 < \theta < \pi/2$ . La integral se convierte en $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{2 \cos(\theta)} r (2 - r)\ dr \ d\theta$$

Answer 2

La parametrización del cilindro es $$ \begin{align*} x-1 &= \cos \theta \\ y &= \sin \theta \\ z &= r \end{align*} $$ Para encontrar la curva que es intersección del cilindro y el cono, basta con sustituir las ecuaciones anteriores por la ecuación del cono $$ z = 2-\sqrt{x^2+y^2} = 2-\sqrt{\left( \cos\theta+1\right)^2+\sin^2\theta} = 2-\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta+2\cos\theta+1} = \\ =2-\sqrt{2+2\cos\theta} = 2-\sqrt{4\cos^2\frac \theta 2} = 2\left(1\pm\cos\frac\theta 2\right) $$ Así, las coordenadas polares de esa curva son $$ \begin{align*} x &= \cos\theta+1\\ y &= \sin\theta \\ z &= 2\left(1\pm\cos\frac\theta 2\right) \end{align*} $$ Se puede comprobar fácilmente con la función ParametricPlot3D de Mathematica

Así que ahora, para encontrar el volumen de este cuerpo, hay que encontrar los límites de integración adecuados para la integral triple $$ V = \int_0^{z_0} \int_0^{\theta_0} \int_0^{r_0} rdr\,d\theta\,dz $$ donde $z_0, \theta_0(z), r_0(z,\theta)$ son algunas funciones, que necesitan ser encontradas en base a la geometría del cuerpo.

PD: Yo, personalmente, aún no he encontrado esos límites, y este post es más una pista, que una solución.