Demostrando que una inversa derecha (o izquierda) de una matriz cuadrada es único usando solamente las operaciones de la matriz básica

Question

Demostrando que una a la derecha (o izquierda) de la inversa de una matriz cuadrada es único, utilizando sólo las operaciones de matrices

-- es decir, sin referencia alguna a los de orden superior, asuntos como el de la clasificación, espacios vectoriales o lo que sea ( :)).

Más precisamente, armados con el conocimiento de:

• las reglas de la matriz de comprobación de igualdad, de adición, multiplicación, distributiva ley y amigos
• Gauss-Jordan, la eliminación y la ecuación apropiada del sistema de solución de casos para la reducción de la fila-forma escalonada

Gracias de antemano.

Answer 1

Así, supongamos que el $A$ es una matriz cuadrada, y que $B$ es una matriz tal que $BA=I$. Quiere mostrar que $B$ es la única izquierda inversa de a $A$ (que lo es).

Tenga en cuenta que un sistema de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene más de una solución, es decir,$B\mathbf{b}$: si $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, luego $$\mathbf{x} = I\mathbf{x} = BA\mathbf{x} = B\mathbf{b}.$$

Si $CA=I$, luego de nuevo un sistema de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene más de una solución, es decir,$C\mathbf{b}$. Por lo tanto, $B\mathbf{b}=C\mathbf{b}$ cualquier $\mathbf{b}$ para los que el sistema tiene una solución.

Si podemos demostrar que $A\mathbf{x}=\mathbf{e}_i$ tiene una solución para cada una de las $i$ donde $\mathbf{e}_i$ $i$th estándar de la base de vectores ($1$$i$th entrada, $0$s en otros lugares) esto mostrará que $B=C$, ya que tienen las mismas columnas.

Debido a $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ tiene una solución, solución que debe ser $B\mathbf{0}=\mathbf{0}$. Eso significa que la reducción de la fila-forma escalonada de a$A$$I$. Debido a la reducción de la fila-forma escalonada de a$A$$I$, la realización de una reducción de la fila en la matriz de coeficientes aumentada $[A|\mathbf{e}_i]$ los rendimientos de la matriz $[I|\mathbf{y}]$ algunos $\mathbf{y}$, $\mathbf{y}$ es la solución a $A\mathbf{x}=\mathbf{e}_i$. Desde este vector es igual para ambos $\mathbf{b}_i=B\mathbf{e}_i$ ($i$ésima columna de a $B$) y a $\mathbf{c}_i=C\mathbf{e}_i$, como se señaló anteriormente, entonces la $i$th columnas de $B$ $C$ son iguales; por lo tanto, $B=C$, y que la matriz tiene un único izquierda inversa.

Ahora, supongamos que el $A$ es una matriz cuadrada y tiene derecho a la inversa, $AB=I$. Queremos mostrar que $B$ es el único derecho inversa de a $A$. Tomando transpone, obtenemos $I = I^T = (AB)^T = B^TA^T$. Por lo que fue demostrado anteriormente, $B^T$ es la única izquierda inversa de a $A^T$. Si $AC=I$,$C^TA^T=I^T = I$, lo $C^T=B^T$, por lo tanto $C=B$. Por lo tanto, $B$ es el único derecho inversa de a $A$.

Answer 2

Supongamos que se tienen las matrices cuadradas $A$$B$$BA = I$. Para mostrar que $B$ es la única izquierda inversa de a $A$ es suficiente para mostrar que el $A$ es invertible, porque, a continuación, $B$ es el único inversa. (Si $C$ es una inversa de a $A$ tenemos $B = BAC = C$.)

La ecuación de $Ax = 0$ tiene una solución, a saber,$x = 0$, y para todos los vectores $v$ $Av = 0$ tenemos $v = BAv = 0$, por lo tanto, no es sólo la solución trivial de la ecuación de $Ax = 0$. Esto muestra que la aplicación de Gauss-Jordan eliminación a $A$ le da la matriz identidad, por lo tanto $A$ es el producto de matrices elementales y estos son todos los invertible. Esto demuestra que $A$ es invertible y hemos terminado.

Answer 3

Sugerencia Mostrar que $I_m = AA^{-1} = A^{-1}A = I_n$; Si $m \neq n$ luego tienes diferentes dimensiones para $I_A$...this significa que no pueden viajar!